Szereg geometryczny

Szereg geometryczny – szereg postaci

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$ gdzie $a,q\in ℝ$

$a$ jest pierwszym wyrazem szeregu geometrycznego, a $q$ – ilorazem szeregu geometrycznego.

$n$-tą sumą częściową jest suma pierwszych $n$ wyrazów szeregu:

$S_n=a+aq+\dots +a{q}^{n-1}=\sum _{k=1}^{n}a{q}^{k-1},n\in \mathbb{N}.$

Wartość $n$-tej sumy częściowej jest równa:

• $S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$  dla  $q\ne 1,$
• $S_n=na$  dla  $q=1.$

Dowód. Niech $q\ne 1.$ Wzór jest prawdziwy dla $n=1,$ bowiem $S_1=a=a\frac{1-q^1}{1-q}.$ Załóżmy indukcyjnie, że wzór jest prawdziwy dla $n.$ Wówczas

$S_{n+1}=S_n+a{q}^n\stackrel{*}{=}a\frac{1-q^n}{1-q}+a{q}^n=a\frac{1-q^n}{1-q}+a{q}^n\frac{1-q}{1-q}=a\frac{1-q^n+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

W równości oznaczonej gwiazdką „*” wykorzystaliśmy założenie indukcyjne $S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}.$ Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej otrzymujemy prawdziwość wzoru dla dowolnego $n\in \mathbb{N}.$

Jeśli $q=1,$ to wszystkie wyrazy szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$ są równe $a$ i $n$-ta suma częściowa ma postać

$S_n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\dots +a}}=na.$

Zbieżność szeregów geometrycznych

Szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$ lub $a=0.$ Wówczas suma szeregu dana jest wzorem $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}=\frac{a}{1-q}.$

Dowód.

• Jeśli $|q|<1,$ to $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }a\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{a}{1-q},$ gdyż $q^n\to 0.$
• Jeśli $a=0,$ to dla każdego $n$ zachodzi: $a_n=0,$ więc $S_n=0,$ a zatem $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0.$

Od teraz załóżmy, że $a\ne 0.$

• Jeśli $|q|>1,$ to $\left|\frac{a{q}^n}{a{q}^{n-1}}\right|=|q|>1$ i na mocy kryterium d’Alemberta szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$ jest rozbieżny.
• Jeśli $q=1,$ to $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }an=\mathrm{\infty }.$
• Jeśli $q=-1,$ to wyraz ogólny szeregu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$ jest postaci $a(-1{)}^{n-1}.$ Zatem

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\dots$

Stąd $S_n=a,$ gdy liczba $n$ jest nieparzysta oraz $S_n=0,$ gdy liczba $n$ jest parzysta. Zatem granica $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$ nie istnieje.

Przykład

Diagram obrazujący sumę szeregu geometrycznego 1 + 1/2 + 1/4 + \dots równą 2

W nieskończonym szeregu geometrycznym

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}.$

iloraz $q$ jest równy $\frac{1}{2},$ zaś $a_1=1.$ Wobec tego zgodnie z powyższym twierdzeniem

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$

Wynik ten obrazuje załączona grafika.

Zobacz też

• szereg funkcyjny

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:
  • Wprowadzenie do szeregów geometrycznych, 16 sierpnia 2021.
  • Suma szeregu geometrycznego – ćwiczenie, 28 stycznia 2017.
  • Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy – zastosowanie szeregu geometrycznego, 1 maja 2017.
  • Rozwinięcie ln(1-x) w szereg potegowy – całkowanie szeregu geometrycznego, 1 maja 2017.
  • Przykłady zbieżnych i rozbieżnych szeregów geometrycznych, 2 września 2017.
  • Nieskończone szeregi geometryczne: kozłująca piłka, 4 września 2017.
  • Szeregi geometryczne i notacja sigma, 15 października 2017.
  • Ułamek dziesiętny okresowy jako szereg geometryczny, 17 października 2017.
  • Zadanie z szeregiem geometrycznym: górska wędrówka, 30 sierpnia 2021.
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-06-23].