Kryteria zbieżności szeregów

Kryteria zbieżności szeregów – grupa twierdzeń podających warunki (zwykle wystarczające) zbieżności bądź rozbieżności danego szeregu liczbowego.

W niniejszym artykule

Szablon:Wzór

oznacza szereg liczbowy, tzn. szereg o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych. Artykuł ten stanowi przegląd wybranych kryteriów; dowody i przykłady zastosowań prezentowane są w artykułach dotyczących konkretnych kryteriów.

Warunek konieczny

Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności:

Jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, to

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$Szablon:Odn.

Przez prawo kontrapozycji, jeżeli granica ciągu $(a_n)$ nie istnieje bądź istnieje i jest różna od $0,$ to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny.

Warunek konieczny zbieżności pozwala stwierdzić czy dany szereg nie jest zbieżny; nie mówi natomiast niczego na temat zbieżności szeregu. Badanie problemu zbieżności szeregu zwykle zaczyna się od sprawdzenia warunku koniecznego, a jeżeli ten jest spełniony, przechodzi się do kolejnych kryteriów.

Przykłady

• Szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{n+1}$

jest rozbieżny, gdyż

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{n+1}=1\ne 0.$

• W przypadku, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0,$

warunek konieczny zbieżności nie rozstrzyga czy szereg jest zbieżny czy nie. Istotnie, szereg harmoniczny jest rozbieżny, tj.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\mathrm{\infty },$

mimo że

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$Szablon:Odn.

Szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

jest jednak zbieżny (zob. problem bazylejski), choć w tym przypadku również

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}=0.$

Warunek Cauchy’ego

Każdy ciąg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego; zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór oznacza zbieżność ciągu sum częściowych

$(\sum _{j=1}^n{a}_j{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}.$

Oznacza to, że szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{n_0\in \mathbb{N}}{\mathrm{\forall }}_{n⩾n_0}{\mathrm{\forall }}_{k\in \mathbb{N}}\left|\sum _{i=n}^{n+k}{a}_i\right|<\epsilon$Szablon:Odn.

Zbieżność bezwzględna

Szereg Szablon:LinkWzór nazywany jest zbieżnym bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg

Szablon:Wzór

Twierdzenie

Każdy szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżnySzablon:Odn.

Dowód

Załóżmy, że szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny. Spełnia on wówczas warunek Cauchy’ego, tzn. dla każdej liczby $\epsilon >0$ istnieje taka liczba naturalna $n_0,$ że dla $n⩾n_0$ oraz dowolnego $k$

$\sum _{i=n}^{n+k}|a_i|<\epsilon .$

Z nierówności trójkąta wynika, że

$\left|\sum _{i=n}^{n+k}{a}_i\right|⩽\sum _{i=n}^{n+k}|a_i|<\epsilon ,$

a zatem szereg Szablon:LinkWzór także spełnia warunek Cauchy’ego, więc jest zbieżny.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówi się wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Szeregi o wyrazach nieujemnych

Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.

Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu Szablon:LinkWzór są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.

$a_n>0,$

i takie założenie jest niżej poczynione.

Kryterium porównawcze

Szablon:Osobny artykuł Niech

Szablon:Wzór

będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie $k,$ że dla wszelkich $n⩾k$ zachodzi nierówność

$a_n⩽b_n.$

Wówczas

1. jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, to szereg Szablon:LinkWzór jest również zbieżny;
2. jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, to szereg Szablon:LinkWzór jest również rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna

Pod założeniem, $b_n>0(n\in \mathbb{N}),$ jeżeli istnieje granica

$K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n},$

• gdy $K<\mathrm{\infty },$ to ze zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór;
• gdy $K>0,$ to z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

Jeżeli $0<K<\mathrm{\infty },$ oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżneSzablon:Odn.

Wersja ułamkowa

Pod założeniem, $b_n>0(n\in \mathbb{N}),$ jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$\frac{a_{n+1}}{a_n}⩽\frac{b_{n+1}}{b_n},$

ze zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór (a więc z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzór)Szablon:Odn.

Kryterium d’Alemberta

Szablon:Osobny artykuł Niech

$D_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r<1$ spełniona jest nierówność

$D_n⩽r$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$D_n>1$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

$D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{D}_n,$

to

• gdy $D<1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, oraz
• gdy $D>1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Kryterium Cauchy’ego

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{a_n}<1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sqrt[n]{a_n}>1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n},$

to

• gdy $C<1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, oraz
• gdy $C>1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Kryterium Raabego

Szablon:Osobny artykuł Niech

$R_n=n\cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>1$ spełniona jest nierówność

$R_n⩾r$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$R_n⩽1$

to szereg Szablon:LinkWzór rozbieżnySzablon:OdnSzablon:Odn.

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{R}_n>1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli dla prawie wszystkich $n,$ $R_n⩽1,$ to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna

Jeżeli istnieje granica

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n,$

to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $R>1,$ oraz
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $R<1$Szablon:Odn.

Kryterium Schlömilcha

Szablon:Osobny artykuł Niech

$S_n=n\cdot \ln \frac{a_n}{a_{n+1}}(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_n>1$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność $S_n⩽1,$ to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Kryterium Kummera (Diniego-Kummera)

Szablon:Osobny artykuł Niech $(c_n)$ będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c_n}=\mathrm{\infty }.$

Niech ponadto

$K_n=c_n\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>0$ spełniona jest nierówność

$K_n⩾r$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$K_n⩽0$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna

Kryterium Kummera można spotkać również w niecło słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(K_n)$ jest zbieżny do pewnego $K,$ to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $K>0,$ oraz
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $K<0$Szablon:Odn.

Kryterium Bertranda

Szablon:Osobny artykuł Niech

$B_n=\ln n(n\cdot (\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1).$

Wówczas

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{B}_n>1;$

• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{B}_n<1$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Wersja graniczna

Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(B_n)$ jest zbieżny do pewnego $B,$ to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $B>1,$ oraz
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $B<1.$

W przypadku, gdy $B=0$ kryterium nie rozstrzyga.

Kryterium Gaussa

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli istnieją takie liczby $a,$ $b>0$ oraz ciąg ograniczony $(c_n)$ o tej własności, że dla dostatecznie dużych $n$ zachodzi związek

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=a+\frac{b}{n}+\frac{c_n}{n^2},$

to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $a>1$ lub $a=1$ oraz $b>1;$
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $a<1$ lub $a=1$ oraz $b⩽1$Szablon:Odn.

Kryterium całkowe

Szablon:Osobny artykuł Niech $f:[1,\mathrm{\infty })\to ℝ$ będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto $a_n=f(n)$ dla każdego $n.$ Wówczas szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$Szablon:Odn.

Kryterium Jermakowa

Szablon:Osobny artykuł Niech $f:[1;\mathrm{\infty })\to ℝ$ będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych $x,$ tj. $x⩾x_0$ dla pewnego $x_0,$ spełniona jest nierówność

$\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}⩽q<1,$

to szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych $x$ zachodzi nierówność

$\frac{f(e^x)\cdot e^x}{f(x)}⩾1,$

to szereg ten jest rozbieżnySzablon:Odn.

Kryterium Cauchy’ego zagęszczające

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli ciąg wyrazów szeregu Szablon:LinkWzór jest nierosnący to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

Szablon:Wzór

W sformułowaniu kryterium Cauchy’ego zagęszczającego (inaczej: kryterium zagęszczania lub konsensacyjnego) szereg Szablon:LinkWzór można zastąpić szeregiem

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}^n\cdot a_{p^n}$

dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej $p$Szablon:Odn.

Kryterium Schlömilcha zagęszczające

Szablon:Osobny artykuł Niech dany będzie rosnący ciąg liczb naturalnych

$u(1)<u(2)<u_3(3)<\dots$

o tej własności, że

$\frac{\mathrm{\Delta }u(n)}{\mathrm{\Delta }u(n-1)}=\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}<N$

dla pewnego $N>0$ oraz wszystkich $n.$

Jeżeli ciąg wyrazów szeregu Szablon:LinkWzór jest nierosnący, to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }u(n)a_{u(n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(u(n+1)-u(n))a_{u(n)}$Szablon:Odn.

Szeregi o wyrazach dowolnych

Kryterium Leibniza

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli ciąg liczbowy $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ spełnia następujące warunki:

1. $a_n⩾0$ dla wszystkich $n;$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0;$
3. ciąg $a_n$ jest nierosnący, tj. $a_0⩾a_1⩾a_2\dots ,$

to szereg

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

jest zbieżny.

Kryterium Abela

Szablon:Osobny artykuł Niech $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, a ciąg $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

jest zbieżnySzablon:Odn.

Kryterium Dirichleta

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli ciąg sum częściowych

${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

szeregu Szablon:LinkWzór jest ograniczony, a $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do $0,$ to szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

jest zbieżny.

Szeregi funkcyjne

Szablon:Osobny artykuł Niech $A$ będzie dowolnym zbiorem oraz niech

$f_n:A\to ℝ(n\in \mathbb{N})$

będzie ciągiem funkcji. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych stosowane do szeregów

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)(x\in A)$

mogą jedynie rozstrzygać o zbieżności punktowej; nie mówią jednak nic o możliwej zbieżności jednostajnej. Wyszczególnione niżej kryteria zbieżności szeregów funkcyjnych pozwalają rozstrzygać o tym typie zbieżności.

Niżej

$f_n:A\to ℝ(n\in \mathbb{N})$

oraz

$g_n:A\to ℝ(n\in \mathbb{N})$

są dowolnymi ciągami funkcji.

Kryterium Weierstrassa

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje taka liczba $M_n,$ że

$|f_n(x)|⩽M_n$

dla każdego elementu $x$ zbioru $A,$ oraz szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A$Szablon:Odn.

Kryterium Abela

Jeśli

• szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A;$

• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(f_n(x){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest monotoniczny;
• istnieje taka liczba $M,$ że dla prawie każdej liczby naturalnej $n$ oraz wszystkich elementów $x$ zbioru $A$ spełniony jest warunek

$|f_n(x)|⩽M,$

to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A$Szablon:Odn.

Kryterium Dirichleta

Jeżeli

• istnieje taka liczba dodatnia $M$ że dla wszystkich liczb naturalnych $n$ oraz wszystkich elementów $x$ zbioru $A:$

$|\sum _{i=1}^n{f}_i(x)|⩽M,$

• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(g_n(x){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do $0,$

to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj
• Szablon:Cytuj