Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych

Szablon:Spis treściTwierdzenie Riemanna – twierdzenie autorstwa Bernharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

Twierdzenie

Niech

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)

będzie takim ciągiem liczb rzeczywistych, że szereg $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech $M$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka permutacja $σ$ zbioru liczb naturalnych, że

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{σ (n)} = M .

Istnieje również taka permutacja $σ,$ że

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{σ (n)} = \pm \infty .

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

Dowód

Niech $(m_{n}), (m'_{n})$ będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do $M$ odpowiednio z dołu i z góry, tzn. $m_{n} < M$ i $m'_{n} > M$ (można przyjąć $m_{n} = M - 1 / n$ oraz $m'_{n} = M + 1 / n$ ). Oznaczmy ponadto

p_{n} = \frac{| a_{n} | + a_{n}}{2}, q_{n} = \frac{| a_{n} | - a_{n}}{2} .

Zauważmy, że ciąg $(p_{n})$ powstaje z ciągu $(a_{n})$ przez zastąpienie wyrazów $< 0$ zerami. Analogicznie, ciąg $(q_{n})$ powstaje z ciągu $(a_{n})$ przez zastąpienie wyrazów $< 0$ ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów $> 0$ zerami. Oczywiście wszystkie wyraz $p_{n}, q_{n}$ są nieujemne, a szeregi $\sum p_{n}, \sum q_{n}$ są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg $\sum | a_{n} | = \sum (p_{n} + q_{n}),$ co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg $\sum a_{n},$ gdyż $a_{n} = p_{n} - q_{n} .$

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu $(a_{n})$ przez $(P_{n}),$ a wartości bezwzględne wyrazów ujemnych przez $(Q_{n})$ (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu $(a_{n})$ ). Wtedy szeregi $\sum P_{n}$ oraz $\sum Q_{n}$ są równe szeregom $\sum p_{n}$ oraz $\sum q_{n}$ z dokładnością do wyrazów równych $0,$ a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne $i_{1}$ oraz $j_{1}$ w taki sposób, aby

P_{1} + P_{2} + \dots + P_{i_{1}} > m_{1}

i

P_{1} + P_{2} + \dots + P_{i_{1}} - Q_{1} - Q_{2} - \dots - Q_{j_{1}} < m'_{1} .

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów $\sum P_{n}, \sum Q_{n} .$ Następnie dla danych liczb $i_{n}, j_{n}$ określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby $i_{n + 1} > i_{n}, j_{n + 1} > j_{n},$ tak aby

P_{1} + \dots + P_{i_{1}} - Q_{1} - \dots - Q_{j_{1}} + \dots + P_{i_{n} + 1} + \dots + P_{i_{n + 1}} > m_{n + 1}

oraz

P_{1} + \dots + P_{i_{1}} - Q_{1} - \dots - Q_{j_{1}} + \dots + P_{i_{n} + 1} + \dots + P_{i_{n + 1}} - Q_{j_{n} + 1} - \dots - Q_{j_{n + 1}} < m'_{n + 1} .

Otrzymujemy w ten sposób szereg

(*)

P_{1} + \dots + P_{i_{1}} - Q_{1} - \dots - Q_{j_{1}} + \dots + P_{i_{n - 1}} + \dots + P_{i_{n}} - Q_{j_{n - 1}} - \dots - Q_{j_{n}} + \dots,

który jest szeregiem powstałym z $\sum a_{n}$ przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie $P_{i_{n}}$ przez $τ_{n} .$ Zauważmy ponadto, że $P_{n} \to 0,$ gdy $n \to \infty$ na mocy zbieżności szeregu $\sum a_{n} .$ Ponieważ $| τ_{n} - m_{n} | ⩽ P_{n},$ to $τ_{n} \to M,$ tzn. M jest punktem skupienia ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego $(m_{n} - m'_{n} \to 0,$ gdy $n \to \infty) .$ To kończy dowód.

Przypadek $\pm \infty$ jest całkowicie analogiczny.

Przykład

Szereg

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n},

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do $\ln 2$ na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots,

jak i szereg składników ujemnych

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \dots

są rozbieżne do $+ \infty .$

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez $S .$ Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

S = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + \dots,

a następnie pomnożyć wszystkie przez $\frac{1}{2},$ otrzymując

\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \dots

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

\frac{3}{2} S = 1 + \frac{1}{3} - \frac{2}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{2}{8} + \dots

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też

twierdzenie Lévy’ego-Steinitza

Linki zewnętrzne

Szablon:MathWorld
Szablon:Otwarty dostęp L.D. Kudryavtsev, Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20].