Kryterium Leibniza

Kryterium Leibniza – kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do $0,$ jest zbieżny.

Kryterium

Jeżeli ciąg liczbowy $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0,$
2. ciąg $a_n$ jest nierosnący,

to szereg

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

jest zbieżnySzablon:Odn.

Dowód

Zgodnie z założeniem

$a_0⩾a_1⩾a_2⩾a_3⩾\dots ⩾0.$

Niech

$S_m=\sum _{n=0}^m(-1{)}^n{a}_n$

oznacza $m$-tą sumę częściową rozważanego szeregu.

Podciąg ciągu sum częściowych postaci

${\left(S_{2N-1}\right)}_{N=1}^{\mathrm{\infty }}$

jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,

$S_{2N+1}-S_{2N-1}=a_{2N}-a_{2N+1}⩾0$

(ciąg ten jest niemalejący) oraz

$S_{2N+1}=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots +a_{2N}-a_{2N+1}⩽a_0-a_2+a_2-a_4+\dots +a_{2N}-a_{2N+2}=a_0-a_{2N+2}⩽a_0$

(ciąg ten jest ograniczony). Niech

$s=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2N+1}.$

Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że

$s=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2N}.$

Rzeczywiście,

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2N}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(S_{2N-1}+a_{2N})=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2N-1}+\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2N}=s+0$Szablon:Odn.

Przykład zastosowania

• Szereg anharmoniczny

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$

jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do $0$Szablon:Odn.

• w szeregu Grandiego $1-1+1-1\dots$ ciąg wyrazów $a_n=1$ jest nierosnący,

w szeregu $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(1+\frac{1}{n})$ ciąg wyrazów $a_n=1+\frac{1}{n}$ jest malejący.

W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów $(a_n)$ nie jest zbieżny do $0$ i oba szeregi są rozbieżne

• w szeregu $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n,$ gdzie $a_{2n}=\frac{1}{n^2},a_{2n-1}=\frac{1}{n}$ ciąg wyrazów $(a_n)$ jest zbieżny do $0,$ ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Szeregi naprzemienne – kryterium Leibniza, kanał Khan Academy na YouTube, 20 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-23].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-02-09].
• Szablon:Otwarty dostęp Leibniz criterion Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].