Punkt skupienia zbioru

Punkt skupienia zbioru – dla danego zbioru $A$ przestrzeni topologicznej T1 taki punkt $p,$ dla którego dowolny zbiór otwarty zawierający $p$ zawiera przynajmniej jeden punkt zbioru $A$ różny od $p,$ tzn. przekrój dowolnego sąsiedztwa punktu $p$ ze zbiorem $A$ jest niepusty.

Punktem skupienia zbioru może być punkt nienależący do niego. Zbiór wszystkich punktów skupienia danego zbioru nazywamy pochodną tego zbioru.

Własności

• Punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy należy do domknięcia zbioru $A\setminus \{p\}$.

• W przestrzeni metrycznej, lub ogólniej, w przestrzeni topologicznej spełniającej pierwszy aksjomat przeliczalności, punkt $p$ jest punktem skupienia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów zbioru $A\setminus \{p\}$.

Związane pojęcia

• Jeśli punkt należy do zbioru, ale nie jest jego punktem skupienia, to nazywamy go punktem izolowanym (tego zbioru). A zatem punkt $p$ należący do zbioru $A$ jest izolowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie jego otoczenie, które nie zawiera punktów zbioru $A$ różnych od $p.$

• Jeśli w dowolnym otoczeniu punktu $p$ znajduje się nieprzeliczalnie wiele elementów zbioru $A,$ to punkt $p$ nazywamy punktem kondensacji zbioru $A.$ Punkt kondensacji zbioru jest więc także jego punktem skupienia (ale nie odwrotnie).

• Przy definiowaniu granic jednostronnych potrzebne jest pojęcie jednostronnego punktu skupienia. Jeśli $A\subseteq ℝ$ (lub ogólniej: dowolnej przestrzeni porządkowej), punkt $x_0\in A$ jest lewostronnym punktem skupienia zbioru $A,$ jeśli jest punktem skupienia zbioru $A\cap (x,x_0)$ dla pewnego $x<x_0.$ Podobnie punkt $x_0\in A$ jest prawostronnym punktem skupienia zbioru $A,$ jeśli jest punktem skupienia zbioru $A\cap (x_0,x)$ dla pewnego $x>x_0.$

• 

  Ciąg liczb wymiernych $x_n=(-1{)}^n\frac{n}{n+1}$ nie posiada granicy, ale ma dwa punkty skupienia: $+1$ oraz $-1$ , które są granicami dwóch podciągów: $x_{2n}=(-1{)}^{2n}\frac{2n}{2n+1}\to +1$ oraz $x_{2n+1}=(-1{)}^{2n+1}\frac{2n+1}{(2n+1)+1}\to -1$

  Punktem skupienia ciągu $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ nazywamy każdą z granic podciągów zbieżnych ciągu $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}.$ Innymi słowy, $p$ jest punktem skupienia $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},$ gdy dowolne otoczenie otwarte $p$ zawiera pewien element ciągu $x_n.$ Ciąg zbieżny ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia (złożony z granicy ciągu). Z drugiej strony, ciąg $x_n=0$ dla $n$ nieparzystych i $x_n=n$ dla $n$ parzystych, ma jednopunktowy zbiór punktów skupienia, ale nie jest zbieżny. Należy też być ostrożnym i rozróżniać punkt skupienia ciągu od punktu skupienia jego zbioru wyrazów. Np. ciąg $x_1=1,$ $x_n=2$ dla $n⩾2,$ jest zbieżny do 2 (i to jedyny element jego zbioru punktów skupienia), natomiast zbiór wyrazów ciągu $x_n$ to $\{1,2\},$ czyli zbiór, którego wszystkie punkty są izolowane. (Omawiane przykłady dotyczą ciągów na prostej rzeczywistej $ℝ$).

Przykłady

• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb rzeczywistych. Jest ona także punktem kondensacji tego zbioru.
• Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych.
• Pochodną (zbiorem punktów skupienia) przedziałów $(0,1)$ oraz $(0,1]$ jest przedział $[0,1].$ Jest on także zbiorem punktów kondensacji tych przedziałów.
• Zbiór $\{0,1,2\}$ nie ma punktów skupienia – wszystkie punkty tego zbioru są punktami izolowanymi.
• Jedynym punktem skupienia zbioru $\{1,1/2,1/3,1/4,1/5,\dots \}$ jest $0,$ wszystkie punkty tego zbioru są izolowane. Zbiór jest przeliczalny, więc nie może mieć punktów kondensacji.
• Jedynymi punktami skupienia zbioru $\{1/4,3/4,1/5,4/5,1/6,5/6,1/7,6/7,\dots \}$ są $0$ i $1,$ pozostałe punkty są izolowane.

Zobacz też

• kres dolny i górny
• punkt skupienia ciągu uogólnionego
• zbiór doskonały