Pochodna zbioru

Pochodna zbioru – dla danego zbioru $A$ w przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich jego punktów skupienia. Pochodną zbioru $A$ oznacza się $A^d,$ niekiedy także $A^{\prime }.$

W przestrzeni T1 pochodna ma następujące własności:

1. $\bar{A}=A\cup A^d$
2. $\overline{A^d}=A^d$ – pochodna jest zbiorem domkniętym
3. $(A\cup B{)}^d=A^d\cup B^d$
4. $(A^d{)}^d\subseteq A^d$
5. $\bigcup _{i\in I}{A}_i^d\subset (\bigcup _{i\in I}{A}_i{)}^d$ – dla dowolnej rodziny $(A_i{)}_{i\in I}$ zbiorów przestrzeni $X$.

Elementy $A\setminus A^d$ to punkty izolowane zbioru $A.$ Punkt $a\in A\setminus A^d$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte $U$ punktu $a$ takie, że $U\cap A=\{a\}.$

Przykłady

• ${\mathbb{Q}}^d=ℝ,$ gdzie $\mathbb{Q}$ oznacza zbiór liczb wymiernych, $ℝ$ – rzeczywistych.
• $(1,2{)}^d=[1,2]$
• $\{1,2{\}}^d=\varnothing$

Pochodna Cantora-Bendixsona

Niech $\alpha$ będzie liczbą porządkową, $X$ niech będzie przestrzenią topologiczną, $A$ podzbiorem $X.$ Pochodną Cantora-Bendixsona rzędu $\alpha$ zbioru $A$ definiujemy przez indukcję pozaskończoną w następujący sposób

• $A^1=A^d,$
• $A^{\alpha }=(\bigcap _{\lambda <\alpha }{A}^{\lambda }{)}^d.$

Dla każdego zbioru $A$ istnieje liczba porządkowa $\alpha$ taka, że $A^{\alpha }=A^{\alpha +1}.$ Najmniejszą liczbę porządkową $\alpha$ o tej własności nazywamy rangą Cantora-Bendixsona zbioru $A,$ a zbiór $A^{\alpha }$ nazywamy jądrem doskonałym zbioru $A.$ Jądro doskonałe jest zbiorem doskonałym. Jeśli $A$ jest zbiorem domkniętym, to jego jądro doskonałe jest w nim zawarte.

Jeśli dla przestrzeni topologicznej $X$ istnieje liczba porządkowa $\alpha$ taka, że $X^{\alpha }=\mathrm{\varnothing },$ to $X$ jest tzw. przestrzenią rozproszoną.

Jeśli $A\subset ℝ,$ to ranga Cantora-Bendixsona $\alpha$ zbioru $A$ jest przeliczalną liczbą porządkową, symbolicznie $\alpha <{\omega }_1.$ Wynika to z faktu, że ciąg $\{A^{\xi }:\xi <{\omega }_1\}$ składa się ze zbiorów domkniętych. Gdyby ten ciąg nie stabilizował się po przeliczalnie wielu krokach, to $\{A^{\xi }:\xi <{\omega }_1\}$ byłby nieprzeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, co przeczyłoby ośrodkowości $ℝ.$

Zobacz też

• przestrzeń rozproszona
• zbiór doskonały
• zbiór wszędzie gęsty