Przestrzeń rozproszona

Przestrzeń rozproszona – przestrzeń topologiczna o tej własności, że każdy jej domknięty podzbiór zawiera gęsty podzbiór złożony z punktów izolowanych. Za motywacje do rozważań przestrzeni o tych własnościach można uznać badania Georga Cantora nad zbieżnością szeregów Fouriera. Dla przestrzeni rozproszonych $X$ definiuje się tzw. szerokość Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej poprzez indukcję pozaskończoną. Niech:

$X^{(0)}=X,$

$X^{(\alpha +1)}=(X^{(\alpha )}{)}^{\prime },$ gdzie $(X^{(\alpha )}{)}^{\prime }$ oznacza operację brania pochodnej zbioru $X^{(\alpha )},$

$X^{(\alpha )}=\bigcap _{\beta <\alpha }{X}^{(\beta )},$

gdy $\alpha$ jest graniczną liczbą porządkową. W przypadku przestrzeni rozproszonych ciąg taki (numerowany liczbami porządkowymi) stabilizuje się. Najmniejszą liczbę porządkową $\alpha (X)$ taką, że

$X^{(\alpha (X))}=\varnothing$

nazywa się szerokością Cantora-Bendixsona przestrzeni rozproszonej $X.$ Jeśli $X$ jest ponadto przestrzenią zwartą, to liczba $\alpha (X)$ jest następnikowa, to znaczy jest ona postaci $\alpha (X)=\beta +1$ dla pewnej liczby porządkowej $\beta .$ Zbiór $X^{(\beta )}$ jest skończony. Klasyczne twierdzenie Mazurkiewicza-Sierpińskiego mówi, że jeżeli $X$ jest przeliczalną, zwartą przestrzenią rozproszoną, to przestrzeń $X$ jest jednacznonie wyznaczona przez liczbę $\beta ,$ gdzie $\alpha (X)=\beta +1$ oraz (skończoną) liczbę elementów zbioru $X^{(\beta )}.$ Dokładniej, jeśli $|X^{(\beta )}|=n,$ to $X$ jest homeomorficzna z przestrzenią

${\omega }^{\beta }\cdot n+1$

z topologią porządkową.

Pod założeniem diamentu Jensena, Adam Ostaszewski podał przykład doskonale normalnej, przeliczalnie zwartej, rozproszonej i zerowymiarowej topologii na zbiorze ${\omega }_1$ takiej że dla ustalonej niezerowej liczby naturalnej $n,$ wymiar pokryciowy przestrzeni = wymiar induktywny przestrzeni = $n.$ Ponadto, wymiar pokryciowy uzwarcenia jednopunktowego tej przestrzeni jest równy zero.