Ciąg uogólniony

Ciąg uogólniony – rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym. Ciąg uogólniony nazywa się też ciągiem Moore’a-Smitha (w skrócie MS-ciągiem), a w żargonie matematycznym ciąg uogólniony bywa nazywany netem (z angielskiego).

Definicja formalna

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $(\mathrm{\Sigma },⩽)$ zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy dowolne odwzorowanie $S:\mathrm{\Sigma }\to X$. Ciąg taki oznaczamy również $S=(x_{\sigma }{)}_{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}$ lub $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\}$. Wartość $x_{\sigma }$ jest elementem zbioru $X$ przyporządkowanym elementowi $\sigma \in \mathrm{\Sigma }.$

Punkty skupienia i granica

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Punkt $x\in X$ nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\},$ jeśli

$\underset{U\subseteq X}{\bigwedge }\underset{{\sigma }_0\in \mathrm{\Sigma }}{\bigwedge }\underset{\sigma ⩾{\sigma }_0}{\bigvee }{x}_{\sigma }\in U,$

gdzie $U$ oznacza otoczenie punktu $x.$

Punkt $x\in X$ nazywamy granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\},$ jeśli

$\underset{U\subseteq X}{\bigwedge }\underset{{\sigma }_0\in \mathrm{\Sigma }}{\bigvee }\underset{\sigma ⩾{\sigma }_0}{\bigwedge }{x}_{\sigma }\in U,$

gdzie $U,$ tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu $x.$

Mówimy wtedy również, że $S$ jest zbieżny do $x.$

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu $S$ oznaczamy $\lim S$ albo $\underset{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}{\lim }S.$

Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony $S=\{x_{{\sigma }^{\prime }}:{\sigma }^{\prime }\in {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }\}$ nazywamy subtelniejszym od ciągu $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\},$ jeśli istnieje funkcja $\phi :{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }\to \mathrm{\Sigma },$ spełniająca warunki:

1. $\underset{{\sigma }_0\in \mathrm{\Sigma }}{\bigwedge }\underset{{{\sigma }_0}^{\prime }\in {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}{\bigvee }[{\sigma }^{\prime }⩾{{\sigma }_0}^{\prime }\Rightarrow \phi ({\sigma }^{\prime })⩾{\sigma }_0].$
2. $\underset{{\sigma }^{\prime }\in {\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}{\bigwedge }{x}_{\phi ({\sigma }^{\prime })}=x_{{\sigma }^{\prime }}.$

Własności

• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S^{\prime }$ subtelniejszego od $S,$ to $x$ jest punktem skupienia $S.$
• Jeśli punkt $x$ jest granicą ciągu uogólnionego $S,$ to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego $S^{\prime }.$
• Jeśli punkt $x$ jest punktem skupienia ciągu uogólnionego $S,$ to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego $S^{\prime },$ subtelniejszego od $S.$

Ciągi uogólnione w przestrzeniach topologicznych

• Odwzorowanie $f:X\to Y$ przestrzeni topologicznych jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy $f(\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}{x}_{\sigma })\subseteq \underset{\sigma \in \mathrm{\Sigma }}{\lim }f(x_{\sigma })$ dla każdego ciągu uogólnionego $\mathrm{\Sigma }\to X$.
• Punkt $x$ przestrzeni $X$ jest punktem skupienia zbioru $A\subseteq X$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu uogólnionego $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\}$, gdzie $x_{\sigma }\in A\setminus \{x\}$ dla każdego $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$.
• Punkt $x$ przestrzeni $X$ należy do domknięcia zbioru $A\subseteq X$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg uogólniony $S=\{x_{\sigma }:\sigma \in \mathrm{\Sigma }\}$ zbieżny do $x$ taki, że $x_{\sigma }\in A$ dla każdego $\sigma \in \mathrm{\Sigma }$.
• Zbiór $A\subseteq X$ jest domknięty w przestrzeni $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym zbieżnym ciągiem uogólnionym zawiera jego granice.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1999.
• S. Gładysz: Wstęp do topologii, Warszawa: PWN, 1981.