Kresy dolny i górny

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kres (kraniec) dolny, infimum (Szablon:Łac. „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (Szablon:Łac. „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych

Definicje

Niech $A\subseteq ℝ$ będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru $A$ nazywamy liczbę $s\in ℝ$ spełniającą:

$s⩾a$ dla wszystkich elementów $a\in A.$

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru $A$ nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę $s\in ℝ$ spełniającą:

• $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A;$
• jeśli $s^{\prime }\in ℝ$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A,$ to $s⩽s^{\prime }.$

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $\sup (A),$ kres dolny $\inf (A).$

Zapisy $\inf (A)=-\mathrm{\infty }$ oraz $\sup (A)=\mathrm{\infty }$ oznaczają, że $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

• Każdy niepusty podzbiór $ℝ$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
• Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
• Przypuśćmy, że $A\subseteq ℝ$ jest niepustym zbiorem oraz $s\in ℝ,$ wówczas

  $s=\sup (A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathrm{\forall }}_{a\in A}a⩽s$ oraz ${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{a\in A}a>s-\epsilon ;$

  $s=\inf (A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\mathrm{\forall }}_{a\in A}a⩾s$ oraz ${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{a\in A}s+\epsilon >a.$

• Jeżeli $A\subseteq ℝ$ oraz oznaczymy $-A:=\{x\in ℝ:-x\in A\},$ to:

  $\inf (-A)=-\sup (A),$

  $\sup (-A)=-\inf (A).$

Przykłady

• Niech $A=[0,3].$ Wówczas:

$\inf (A)=0,$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.

$\sup (A)=3,$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

• Niech $B=(0,3).$ Wówczas:

$\inf (B)=0,$ bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.

$\sup (B)=3,$ bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech $C=\{0,1,3\}.$ Wówczas podobnie jak dla zbioru $A,$ $\inf (C)=0$ oraz $\sup (C)=3.$
• Niech $D=\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\dots \}.$ Wówczas:

$\sup (D)=1,$ gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech $E=\mathrm{\varnothing }.$ Wówczas:

$\inf (E)=\mathrm{\infty },\sup (E)=-\mathrm{\infty },$  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje

Niech $(X,⊑)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $A\subseteq X.$ Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element $s\in X$ nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru $A,$ jeśli:

${\mathrm{\forall }}_{a\in A}a⊑s.$

Element $s\in X$ nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru $A,$ jeśli:

${\mathrm{\forall }}_{a\in A}s⊑a.$

Element $s\in X$ jest kresem górnym (supremum) zbioru $A,$ jeśli $s$ jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych $A,$ tzn.

$s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A;$

jeśli $s^{\prime }\in X$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A,$ to $s⊑s^{\prime }.$

Element $s\in X$ jest kresem dolnym (infimum) zbioru $A,$ jeśli $s$ jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych $A,$ tzn.

$s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A;$

jeśli $s^{\prime }\in X$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A,$ to $s^{\prime }⊑s.$

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,⊑)$ nazywa się zupełnym.

Własności

• Każdy element zbioru $X$ jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X,$ a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru $X$ (o ile takie istnieją w zbiorze $X$).
• Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia $\inf (A)$ i $\sup (A)$ odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru $A$ są jednoznaczne.
• Jeśli $(X,⊑)$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,⩽)$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $⩽\upharpoonright X$ zgadza się z $⊑,$ oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y.$ Porządek $(Y,⩽)$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
• Jeśli $(X,⊑)$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.

Przykłady

• Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in \mathbb{Q}:q^2<2\},$ to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
  Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać $(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}$ i ma oba kresy.
• Niech $X=(1,2)\cup (3,4)$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór $(1,2)$ nie ma w zbiorze $X$ kresu górnego, bowiem $(3,4)$ jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru $(1,2),$ ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór $(3,4)$ nie ma w zbiorze $X$ kresu dolnego.
• Niech $X=(1,2]\cup (3,4]$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór $(1,2]$ ma w zbiorze $X$ kres górny $2,$ podzbiór $(3,4]$ ma w zbiorze $X$ kres dolny $2.$
• Niech $(𝔹,+,\cdot ,\sim ,0,1)$ będzie algebrą Boole’a i niech $⩽$ będzie porządkiem boole’owskim na $𝔹$ (tzn. dla $a⩽b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\cdot b=a$).
  • Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq 𝔹$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski $⩽$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
  • Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq 𝔹$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a $𝔹:$

    każdy niepusty podzbiór $𝔹$ ma kres górny (tzn. sumę),

    każdy niepusty podzbiór $𝔹$ ma kres dolny (tzn. produkt).

  • Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\varnothing \ne A\subseteq 𝔹,$ to

    $\sum A=\sim \prod \{\sim a:a\in A\}$ oraz $\prod A=\sim \sum \{\sim a:a\in A\}.$

Zobacz też

• elementy minimalny i maksymalny
• elementy najmniejszy i największy

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę