Szereg funkcyjny

Szablon:Spis treści Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

• szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej – w fizyce i technice – ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus – tzw. harmonik (zob. analiza harmoniczna);
• szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych (zob. wzór Taylora, analiza numeryczna);
• szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji (zob. analiza zespolona).

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\dots$

Jest on zbieżny dla każdego $-1<x<1$ do (sumy):

$\frac{1}{1-x}.$

Jeżeli przyjąć $f_n(x)=x^n$ dla $x$ jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x),$

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $(f_n)$ będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze $X$ i o wartościach w przestrzeni $Y.$

Zbieżność punktowa

Szablon:Osobny artykuł Mówi się, że szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny punktowo w zbiorze $X,$ gdy dla każdego $x_0\in X$ zbieżny jest szereg $\sum f_n(x_0).$ Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg $(s_N{)}_{N\in \mathbb{N}}$ sum częściowych $s_N=f_1(x_0)+\dots +f_N(x_0).$ Określoną w ten sposób funkcję $f(x)=\sum f_n(x)$ nazywa się sumą szeregu funkcyjnego $\sum f_n(x).$

Zbieżność jednostajna

Szablon:Osobny artykuł Szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(s_N{)}_{N\in \mathbb{N}}$ sum częściowych $s_N=f_1+\dots +f_N$ jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $X$ do funkcji $f(x),$ gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu $\sum (f_n(x)-f(x))$ jest dowolnie mała dla wszystkich $x\in X,$ tzn. gdy dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje taka liczba naturalna $n_{\epsilon },$ że dla wszystkich $k>n_{\epsilon }$ i dla wszystkich $x\in X$ zachodzi nierówność

$\Vert (\sum _{n=1}^k{f}_n(x))-f(x)\Vert <\epsilon .$

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

• kryterium Abela,
• kryterium Dirichleta,
• kryterium Weierstrassa.

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie – twierdzenie Weierstrassa

Niech dany będzie szereg funkcyjny ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ zbieżny jednostajnie w przedziale $(a,b)$ do funkcji $f.$ Wówczas:

• jeżeli wszystkie wyrazy ciągu $(f_n)$ są ciągłe, to jego suma $f$ też jest funkcją ciągłą;
• jeżeli $(f_n)$ jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f_n}^{\prime }(x)$ jest zbieżny jednostajnie, to funkcja $f$ jest różniczkowalna oraz

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f_n}^{\prime }(x)$

dla $x\in (a,b).$

• jeżeli ponadto wyrazy ciągu $(f_n)$ są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale $[a,b]$ oraz szereg ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)\text{d}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)\text{d}x.$

Przykład

Szereg

$1+x+x^2+x^3+\dots$

jest zbieżny punktowo do funkcji $f(x)=\frac{1}{1-x}$ w przedziale $(-1,1),$ jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę