Kryterium Dirichleta zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych

Kryterium Dirichleta – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g_n(x).$

Nazwa pochodzi od nazwiska Petera Gustawa Dirichleta.

Kryterium

Niech $(f_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ i $(g_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ będą takimi ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie $A,$ że

• istnieje taka liczba dodatnia $M$ że dla wszystkich liczb naturalnych $n$ oraz wszystkich elementów $x$ należących do $A:$

$|\sum _{i=1}^n{f}_i(x)|⩽M,$

• dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(g_n(x){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest monotoniczny oraz zbieżny jednostajnie do $0.$

Wówczas szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A.$

Istnieje wersja powyższego kryterium dla całek niewłaściwych, mianowicie kryterium Dirichleta zbieżności całek niewłaściwych.

W przypadku, gdy $(g_n)$ jest monotonicznym ciągiem liczbowym zbieżnym do $0,$ kryterium Dirichleta można uogólnić na szeregi w przestrzeniach Banacha. Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Dirichleta dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy $A$ jest zbiorem jednoelementowym).

Kryterium Dirichleta o zbieżności szeregów liczbowych

Szablon:Osobny artykuł Jeżeli ciąg sum częściowych

${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

szeregu liczbowego

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

jest ograniczony, a $(b_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do $0,$ to szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

jest zbieżny.

Zobacz też

• kryteria zbieżności szeregów
• kryterium Abela
• kryterium Weierstrassa
• zbieżność monotoniczna
• zbieżność punktowa ciągu funkcji

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę