Zbieżność monotoniczna

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Ciągi liczbowe

Ciąg liczb rzeczywistych $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest monotonicznie zbieżny do liczby $a,$ jeśli $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby $a.$

Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

Ciągi funkcyjne

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem oraz $f_n,f:X⟶ℝ.$

Ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ jeśli

1. $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }x\in X)(f_n(x)⩽f_{n+1}(x))$ lub $(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }x\in X)(f_n(x)⩾f_{n+1}(x))$ oraz
2. $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f,$ tzn. dla każdego $x\in X$ mamy, że $f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x).$

Warunek (1) zapewnia, że ciąg $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest niemalejący dla dowolnego $x\in X$ albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego $x\in X.$ Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg $(f_n(x){)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest monotoniczny dla każdego $x\in X$.

Przykładowe użycie

• Twierdzenie Diniego: jeśli $f_n,f:[0,1]⟶ℝ$ są ciągłe, ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ to $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiega jednostajnie do $f.$
• Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli $f_n:[0,1]⟶[0,\mathrm{\infty })$ są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ to $f$ jest mierzalna oraz $\underset{[0,1]}{\int }f=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{[0,1]}{\int }{f}_n.$

Zobacz też

• funkcja monotoniczna
• szereg funkcyjny
• zbieżność punktowa ciągu funkcji
• zbieżność jednostajna
• twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego