Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzenia

Niech $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczonySzablon:R.

Dowód

Załóżmy, że ciąg $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech $c=\underset{n}{\sup }\{a_n\}.$ Dla każdego $\epsilon >0,$ istnieje takie naturalne $N,$ że $a_N>c-\epsilon ,$ jako że w przeciwnym wypadku $c-\epsilon$ byłoby ograniczeniem górnym $\{a_n\},$ mniejszym od $\underset{n}{\sup }\{a_n\},$ co przeczy definicji $c,$ jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro $(a_n)$ jest niemalejący, to

$\mathrm{\forall }n>N,|c-a_n|=c-a_n⩽c-a_N<\epsilon ,$

co oznacza, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny i jego granicą jest $\underset{n}{\sup }\{a_n\}.$

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

Zobacz też

• ciąg
• granica ciągu i granica funkcji
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Ciągi liczbowe cz. III – Zbieżność ciągów ograniczonych i monotonicznych, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].