Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że całka Lebesgue'a funkcji będącej punktową granicą niemalejącego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest granicą ciągu całek z tych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,ℱ,\mu )$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X⟶ℝ$ (dla $n\in \mathbb{N}$) jest ciągiem funkcji mierzalnych,

(c) $0⩽f_1(x)⩽f_2(x)⩽f_3(x)⩽\dots$ dla każdego $x\in X,$

(d) funkcja $f:X⟶ℝ$ jest zdefiniowana jako granica

$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ dla $x\in X.$

Wówczas funkcja $f$ jest mierzalna, ponadto $\int fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{n}d\mu .$

Powyższe twierdzenie dopuszcza przypadek, w którym funkcje $f_n$ oraz $f$ przyjmują wartość $\mathrm{\infty }$, jak również przypadek, gdy granica całek jest nieskończona. Twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x.$

Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, $f$ jest mierzalna. Ponieważ ciąg ${(\int f_{n}d\mu )}_{n\in \mathbb{N}}$ jest monotonicznie niemalejący (na mocy założenia (c)), więc jest on zbieżny, być może do granicy nieskończonej. Niech $C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{n}d\mu .$

Przypuśćmy, że $h:X⟶ℝ$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0⩽h⩽f.$ Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha \in (0,1).$ Dla liczby naturalnej $n\in \mathbb{N}$ połóżmy

$A_n=\{x\in X:\alpha \cdot h(x)⩽f_n(x)\}.$

Oczywiście, $A_n\in ℱ$ (jako że zarówno $f_n,$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_n\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha \cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f(x)>0,$ to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n.$ Zauważmy, że

(i) $\alpha \cdot \underset{A_n}{\int }hd\mu ⩽\underset{A_n}{\int }{f}_{n}d\mu ⩽\int f_{n}d\mu .$

Następnie, pamiętając że $h$ jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{A_n}{\int }hd\mu =\underset{\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n}{\int }hd\mu =\int hd\mu .$

Przechodząc z $n$ do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

$\alpha \cdot \int hd\mu ⩽C.$

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha \in (0,1),$ to otrzymujemy iż $\int hd\mu ⩽C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{n}d\mu .$

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej $h$ spełniającej nierówności $0⩽h⩽f,$ mamy, że $\int hd\mu ⩽C,$ a więc funkcja $f$ spełnia $\int fd\mu ⩽C.$ (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej nieujemnej.) Ponieważ jednocześnie $\int f_{n}d\mu ⩽\int fd\mu$ (jako że $f_n⩽f$), to mamy też

$\int fd\mu =C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f_{n}d\mu .$

Zastosowania

• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
• Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_1,f_2,\dots$) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

$\sum _n\int f_{n}d\mu =\int \sum _n{f}_{n}d\mu .$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• funkcja całkowalna
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• twierdzenie Vitalego o zbieżności

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę