Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,ℱ,\mu )$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X⟶ℝ$ (dla $n\in \mathbb{N}$) jest funkcją mierzalną,

(c) dla pewnej funkcji całkowalnej $g:X⟶ℝ$ mamy, że $|f_n(x)|⩽g(x)$ dla wszystkich $x\in X$ i $n\in \mathbb{N},$

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x);$ niech funkcja $f:X⟶ℝ$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ dla $x\in X.$

Wówczas funkcja $f$ jest całkowalna oraz

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int |f_n-f|d\mu =0$   i   $\int fd\mu =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int f_{n}d\mu .$

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego $x.$

Szkic dowodu

Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że $f$ jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalnaSzablon:Odn. oraz $|f(x)|⩽g(x)$ (dla wszystkich $x\in X$), a stąd $f$ jest całkowalna. Zauważmy, że $|f_n(x)-f(x)|⩽2g(x)$ (dla każdego $x$), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji $h_n=2g-|f_n-f|.$

Ponieważ $2g(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{h}_n(x)=\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{h}_n(x),$ to otrzymujemy wówczas, że

$\begin{array}{cc}\int 2gd\mu & ⩽\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int h_{n}d\mu \\ & =\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int 2g-|f_n-f|d\mu \\ & =\int 2gd\mu +\mathrm{lim\; inf}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(-\int |f_n-f|d\mu )\\ & =\int 2gd\mu -\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\int |f_n-f|d\mu ).\end{array}$

Stąd już wnioskujemy, że $\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\int |f_n-f|d\mu )=0,$ a zatem $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int |f_n-f|d\mu =0.$ Ponieważ $|\int f_n-fd\mu |⩽\int |f_n-f|d\mu ,$ to możemy też wywnioskować, że $\int fd\mu =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int f_{n}d\mu .$

Przykład

Istotność założenia (c)

Rozważmy odcinek $(0,1)$ wyposażony w miarą Lebesgue’a $\lambda .$ Dla liczby naturalnej $n\in \mathbb{N}$ zdefiniujemy funkcję $f_n:(0,1)⟶ℝ$ przez

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n& \text{gdy}x\in (0,\frac{1}{n}]\\ 0& \text{gdy}x\in (\frac{1}{n},1)\end{array}$

Wtedy $f_n(x)\to 0$ dla $x\in (0,1),$ natomiast $\int f_{n}d\lambda =n\lambda \left((0,\frac{1}{n})\right)=n\frac{1}{n}=1\to ̸0=\int 0d\lambda .$

A więc nie można pominąć założenia (c) o wspólnym ograniczeniu tych funkcji.

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Vitalego o zbieżności

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę