Twierdzenie Vitalego o zbieżności

Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.

Twierdzenie

Niech $(X,𝔪,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że $(f_n{)}_n\subset L^p(X,𝔪,\mu )$ będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a $L^p(X,𝔪,\mu )$ oraz niech $f\in L^p(X,𝔪,\mu ),$ gdzie $1⩽p<+\mathrm{\infty }.$ Wówczas $f_n\to f$ według $p$-tej średniej (tj. w $L^p(X,𝔪,\mu )$) wtedy i tylko wtedy, gdy

• (i) $f_n$ zbiega według miary do $f;$
• (ii) rodzina funkcji $\{|f_n{|}^p\}$ jest jednakowo całkowalna,

  tzn. dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje taka $\delta >0,$ że dla wszystkich zbiorów mierzalnych $E\subseteq X$ takich, że $\mu (E)<\delta$ zachodzi $\underset{E}{\int }|f_n(x){|}^{p}d\mu (x)<\epsilon$ dla wszystkich $n;$

• (iii) rodzina funkcji $\{|f_n{|}^p\}$ jest ciasna,

  tzn. dla dowolnej liczby $\epsilon >0$ istnieje zbiór mierzalny $E\subseteq X$ taki, że $\mu (E)<+\mathrm{\infty }$ oraz $\underset{X\setminus E}{\int }|f_n(x){|}^{p}d\mu (x)<\epsilon$ dla wszystkich $n.$

Uwaga. Jeśli miara jest skończona $(\mu (X)<+\mathrm{\infty }),$ to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii).

Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja $g\in L^p(X,𝔪,\mu ),$ że $|f_n|⩽g,$ to rodzina $\{|f_n{|}^p\}$ jest jednakowo całkowalna i ciasna.

Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że $f_n$ zbiega punktowo do $f.$

Zobacz też

• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej
• lemat Fatou