Jędrna rodzina miar

Szablon:Spis treści Jędrność (ciasność) (ang. tight) – pojęcie teorii miary formalizujące intuicyjną własność zbioru miar, które nie „uciekają do nieskończoności”. Twierdzenie charakteryzujące jędrne rodziny rozkładów nazywane jest twierdzeniem Prochorowa.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną, i niech $𝔐$ będzie σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (czyli każdy podzbiór otwarty w $X$ jest mierzalny, $𝔐$ może być σ-algebrą borelowską na $X$). Niech $M$ będzie rodziną miar określonych na $𝔐.$

Rodzinę $M$ nazywa się jędrną (bądź ciasną), jeżeli dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje zwarty podzbiór $K_{\epsilon }$ przestrzeni $X,$ że dla wszystkich miar $\mu \in M$ zachodzi

$\mu (X\setminus K_{\epsilon })<\epsilon .$

Często rozpatrywanymi miarami są miary probabilistyczne, wtedy ostatnia część może być równoważnie przedstawiona jako

$\mu (K_{\epsilon })>1-\epsilon .$

Przykłady

Przestrzenie zwarte

Jeżeli $X$ jest przestrzenią zwartą, to każda rodzina miar probabilistycznych na $X$ jest jędrna.

Rodzina mas punktowych

Niech dana będzie prosta rzeczywista $ℝ$ z topologią naturalną (euklidesową). Dla $x\in ℝ$ niech ${\delta }_x$ oznacza miarę Diraca skupioną w $x.$ Wówczas rodzina

$M_1:=\{{\delta }_n:n\in \mathbb{N}\}$

nie jest jędrna, ponieważ zwartymi podzbiorami $ℝ$ są te i tylko te, które są domknięte i ograniczone, a każdy taki zbiór, ponieważ jest ograniczony, jest ${\delta }_n$-miary zero dla dostatecznie dużych $n.$ Z drugiej strony, rodzina

$M_2:=\{{\delta }_{1/n}:n\in \mathbb{N}\}$

jest ciasna: przedział zwarty $[0,1]$ będzie pełnił rolę $K_{\epsilon }$ dla dowolnego $\epsilon >0.$ W ogólności rodzina miar delt Diraca na ${ℝ}^n$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy rodzina ich nośników jest ograniczona.

Rodzina miar gaussowskich

Niech dana będzie $n$-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ${ℝ}^n$ ze standardową topologią i σ-algebrą zbiorów borelowskich oraz rodzina miar gaussowskich

$\mathrm{\Gamma }=\{{\gamma }_i:i\in I\},$

gdzie zmienna losowa o rozkładzie ${\gamma }_i$ ma wartość oczekiwaną ${\mu }_i\in {ℝ}^n$ oraz wariancję ${\sigma }_i^2>0.$ Wtedy rodzina $\mathrm{\Gamma }$ jest jędrna wtedy i tylko wtedy, gdy obie rodziny $\{{\mu }_i:i\in I\}\subseteq {ℝ}^n$ oraz $\{{\sigma }_i^2:i\in I\}\subseteq ℝ$ są ograniczone.

Analiza przykładu w przypadku jednowymiarowym.

Niech $m^{*},{\sigma }^{*},m_i,{\sigma }_i\in ℝ$ będą takie, że

$-m^{*}<m_i<m^{*}$ oraz $0<{\sigma }_i<{\sigma }^{*}$ dla wszystkich $i\in I.$

Niech ${\gamma }_i=N(m_i,{\sigma }_i^2)$ będzie rozkładem normalnym ze średnią $m_i$ oraz odchyleniem standardowym ${\sigma }_i.$ Wykażemy, że rodzina miar $\{{\gamma }_i:i\in I\}$ jest jędrna.

Niech będzie dane $\epsilon >0.$ Dla $m\in ℝ$ oraz $\sigma >0$ niech ${\mathrm{\Phi }}_{m,\sigma }$ będzie dystrybuantą rozkładu normalnego $N(m,\sigma )$ i niech ${\mathrm{\Phi }}_{0,1}=\mathrm{\Phi }.$ Z własności rozkładu normalnego wiemy, że:

• możemy znaleźć $x^{*}>0$ takie, że $\mathrm{\Phi }(x^{*})=1-\frac{\epsilon }{3}$ oraz $\mathrm{\Phi }(-x^{*})=\frac{\epsilon }{3},$
• ${\mathrm{\Phi }}_{m,{\sigma }^2}(x)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-m}{\sigma }\right)$ dla wszystkich $x\in ℝ.$

Połóżmy

$d^{-}=-m^{*}-{\sigma }^{*}\cdot x^{*}$ oraz $d^{+}=m^{*}+{\sigma }^{*}\cdot x^{*}.$

Na mocy naszych założeń o $m_i,{\sigma }_i$ mamy, że dla $i\in I:$

$\frac{m^{*}+{\sigma }^{*}\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}⩾\frac{m_i+{\sigma }_i\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}$

oraz

$\frac{-m^{*}-{\sigma }^{*}\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}⩽\frac{m_i-{\sigma }_i\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}.$

Stąd

${\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(d^{+})={\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(m^{*}+{\sigma }^{*}\cdot x^{*})=\mathrm{\Phi }\left(\frac{m^{*}+{\sigma }^{*}\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}\right)⩾\mathrm{\Phi }\left(\frac{m_i+{\sigma }_i\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}\right)=\mathrm{\Phi }(x^{*})=1-\frac{\epsilon }{3}$

oraz

${\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(d^{-})={\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(-m^{*}-{\sigma }^{*}\cdot x^{*})=\mathrm{\Phi }\left(\frac{-m^{*}-{\sigma }^{*}\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}\right)⩽\mathrm{\Phi }\left(\frac{m_i-{\sigma }_i\cdot x^{*}-m_i}{{\sigma }_i}\right)=\mathrm{\Phi }(-x^{*})=\frac{\epsilon }{3}.$

Teraz, dla każdego $i\in I$ mamy

${\gamma }_i([d^{-},d^{+}])={\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(d^{+})-{\mathrm{\Phi }}_{m_i,{\sigma }_i^2}(d^{-})⩾1-\frac{\epsilon }{3}-\frac{\epsilon }{3}>1-\epsilon ,$

a zbiór $[d^{-},d^{+}]$ jest zwarty jako domknięty i ograniczony przedział prostej rzeczywistej, więc rodzina rozkładów $N(m_i,{\sigma }_i^2)$ jest jędrna.

Jędrność a zbieżność

Jędrność jest często warunkiem koniecznym do udowodnienia słabej zbieżności ciągu miar probabilistycznych, szczególnie, przestrzeń mierzalna jest nieskończonego wymiaru. Zobacz

• jędrność w klasycznej przestrzeni Wienera,
• jędrność w przestrzeni Skorohoda,
• rozkład skończeniewymiarowy,
• twierdzenie Prochorowa.

Jędrność wykładnicza

Uogólnieniem jędrności jest tzw. jędrność wykładnicza, która znalazła swoje zastosowania w teorii wielkich odchyleń. Rodzinę miar probabilistycznych $({\mu }_{\delta }{)}_{\delta >0}$ na przestrzeni topologicznej Hausdorffa $X$ nazywa się jędrną (ciasną) wykładniczo, jeśli dla dowolnego $\epsilon >0$ istnieje podzbiór zwarty $K_{\epsilon }$ przestrzeni $X$ taki, że

$\underset{\delta \downarrow 0}{\mathrm{lim\; sup}}\delta \log {\mu }_{\delta }(X\setminus K_{\epsilon })<-\epsilon .$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę