Twierdzenie Diniego

Twierdzenie Diniego – kryterium badania zbieżności jednostajnej ciągów funkcyjnych funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie

Niech $D\subseteq ℝ$ będzie zbiorem zwartym (np. przedziałem domkniętym), $f_n,f:D\to ℝ$ będą funkcjami ciągłymi i $n\in \mathbb{N}.$ Jeśli

1. ciąg $f_n$ jest monotoniczny,
2. ciąg $f_n$ jest punktowo zbieżny do $f,$

to jest jednostajnie zbieżny do $f.$

Uogólnienia

• Niech $(X,d)$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią metryczną. $f_n,f:X\to ℝ,n\in \mathbb{N}$ będą ciągłe. Jeśli ciąg $f_n$ jest monotonicznie malejący i punktowo zbieżny do $f,$ to jest niemal jednostajnie zbieżny do $f.$
• Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią topologiczną i niech $f_n$ będzie monotonicznie rosnącym ciągiem funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, punktowo zbieżnym do ciągłej funkcji $f:X\to ℝ.$ Wówczas ciąg ten jest zbieżny jednostajnie do $f.$

Zobacz też

• Ulisse Dini

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę