Kryterium Weierstrassa

Kryterium Weierstrassa – twierdzenie będące warunkiem wystarczającym zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka, Karla Weierstrassa. Kryterium to mówi, że jeżeli $(f_n)$ jest ciągiem funkcji określonych na dowolnym zbiorze $A$ o tej własności, że dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje taka liczba $M_n,$ że

$|f_n(x)|⩽M_n$

dla każdego elementu $x$ zbioru $A,$ oraz szereg liczbowy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$

jest zbieżny, to szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w $A.$ Ciąg $(M_n)$ nazywany jest majorantą ciągu funkcyjnego $(f_n).$ Kryterium pozostaje prawdziwe dla ciągów funkcyjnych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Dowód

Niech $\epsilon >0.$ Skoro szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$

jest zbieżny, to istnieje taka liczba $N\in \mathbb{N},$ że dla każdego $k>N$ mamy

$\sum _{n=N}^k{M}_n<\epsilon .$

Zatem dla dowolnej liczby $x\in A$ mamy

$\sum _{n=N}^k|f_n(x)|<\epsilon .$

Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|f_n(x)|$

spełnia jednostajny warunek Cauchy’ego, a w konsekwencji jest on zbieżny jednostajnie. Zatem szereg funkcyjny

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny.

Zobacz też

• kryterium Abela
• kryterium Dirichleta
• zbieżność punktowa
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę