Majoranta i minoranta

Majoranta i minoranta – pojęcia matematyczne określające wyróżnione elementy zbioru uporządkowanego oznaczające odpowiednio: ograniczenie górne i ograniczenie dolne.

Zbiory liczbowe

Definicje

Niech $(X,⋞)$ to zbiór uporządkowany, $A\subseteq X.$

Majorantą (ograniczeniem górnym) zbioru $A$ nazywamy taki element $M\in X$ $\mathrm{\forall }x\in A:x⋞M.$

Minorantą (ograniczeniem dolnym) zbioru $A$ nazywamy taki element $m\in X$ $\mathrm{\forall }x\in A:m⋞x.$

Własności i przykłady

• Jeśli zbiór $A$ posiada co najmniej jedną majorantę (odpowiednio minorantę) to mówimy, że jest on ograniczony od góry (odpowiednio od dołu).
• Jeśli ma majorantę i minorantę to jest ograniczony.
• Niech $(ℝ,⩽);A=⟨-1,5),$ wtedy np. 6 jest majorantą zbioru $A,$ np -100, -1 są minorantami zbioru $A,$ zbiór wszystkich minorant to $(-\mathrm{\infty },-1⟩.$

Szeregi

Jeżeli dla danych dwóch szeregów liczbowych $\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>n_0:a_n⩽b_n$ to szereg $b_n$ nazywamy majorantą szeregu $a_n$ (szereg $a_n$ nazywamy minorantą szeregu $b_n$).

Zobacz też

• kresy dolny i górny
• szereg (matematyka)
• zbiór uporządkowany

Bibliografia

• Zbigniew Furdzik et al., Nowoczesna matematyka dla inżynierów, Cz. 1, Algebra.