Kryterium Abela

Kryterium Abela – warunek wystarczający zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego postaci

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) g_{n} (x) .

Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Nielsa Abela.

Kryterium

Niech $(f_{n})_{n = 1}^{\infty}$ i $(g_{n})_{n = 1}^{\infty}$ będą ciągami funkcji skalarnych określonych na wspólnej dziedzinie $A .$

Jeśli

\sum_{n = 1}^{\infty} g_{n} (x)

dla każdego $x$ ze zbioru $A$ ciąg $(f_{n} (x))_{n = 1}^{\infty}$ jest monotoniczny;
istnieje taka liczba $M,$ że dla prawie każdej liczby naturalnej $n$ oraz wszystkich elementów $x$ zbioru $A$ spełniony jest warunek

| f_{n} (x) | ⩽ M,

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) g_{n} (x)

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $A .$

Szczególnym przypadkiem powyższego kryterium jest kryterium Abela dla szeregów liczbowym (tj. przypadek, gdy $A$ jest zbiorem jednoelementowym).

Niech $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}, (b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli szereg liczbowy

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

jest zbieżny, a ciąg $(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ jest monotoniczny i ograniczony, to szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

jest zbieżny.