Przestrzeń funkcyjna

Szablon:Spis treści Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y,$ z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej

Szablon:Zobacz też Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $F,$ zaś $X$ – pewnym zbiorem. Rozważmy zbiór funkcji ${f : X \to V}$ wówczas przestrzenią funkcyjną liniową nad ciałem $F$ nazywamy uporządkowaną czwórkę $({f : X \to V}, F, +, \cdot)$ gdzie działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:

(1.1) Sumą funkcji $f, g : X \to V$ nazywa się funkcję $h : X \to V$ taką, że dla dowolnych $x \in X$ spełniona jest zależność

h (x) = f (x) + g (x) .

Wtedy pisze się $h = f + g$

(1.2) Iloczynem funkcji $f : X \to V$ przez skalar $c \in F$ nazywa się funkcję $h : X \to V$ taką, że dla dowolnych $x \in X$ spełniona jest zależność

h (x) = c \cdot f (x) .

Wtedy pisze się $h = c \cdot f .$

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. Baza

Szablon:Osobny artykuł(2.1) Funkcje $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2.2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana

(3.1) Zbiór $C [0, 1]$ wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym $[0, 1]$ nad ciałem liczb rzeczywistych $ℝ$ tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniami dodawania funkcji (1.1) oraz mnożenia funkcji przez skalar (1.2).

(3.2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze $[0, 1],$ tj. $f_{n} : [0, 1] \to ℝ, f_{n} (x) = x^{n}, n \in ℕ .$

(3.3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} .

(3.4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

‖ f ‖ : = \sup_{x \in [a, b]} | f (x) |,

co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku $[a, b] .$

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(3.5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

‖ f - g ‖ : = \sup_{x \in [a, b]} | f (x) - g (x) | .

(3.6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

⟨ f | g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x)^{- 1} \cdot g (x) d x .

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje $f_{n}, f_{m}$ są ortogonalne, jeżeli $n \neq m,$ gdyż

⟨ f_{n} | f_{m} ⟩ = \int_{0}^{1} f_{n} (x)^{- 1} \cdot f_{m} (x) d x = \int_{0}^{1} x^{m - n} (x) d x,

skąd

⟨ f_{n} | f_{n} ⟩ = \int_{0}^{1} x^{0} (x) d x = \int_{0}^{1} 1 d x = 1

oraz

⟨ f_{n} | f_{m} ⟩ = \frac{1}{m - n + 1} x^{m - n + 1} |_{0}^{1} = \frac{1}{m - n + 1} (1^{m - n + 1} - 0^{m - n + 1}),

pod warunkiem, że przyjmie się $0^{0} = 1$ (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

W teorii mnogości zbiór $Y^{X}$ funkcji zbioru $X$ w $Y$ oznacza się także niekiedy symbolem $X \to Y .$
Jako przypadek szczególny, zbiór potęgowy $𝒫 (X)$ zbioru $X$ może być utożamiany ze zbiorem funkcji ze zbioru $X$ w ${0, 1};$ z tego powodu oznacza się też go symbolem $2^{X} .$
Zbiór bijekcji z $X$ w $Y$ bywa oznaczany $X \leftrightarrow Y .$ Istnieje także notacja silni $X!$ oznaczająca permutacje zbioru $X .$
W algebrze liniowej zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni liniowej $V$ w inną przestrzeń liniową $W$ nad tym samym ciałem sam jest przestrzenią liniową.
W analizie funkcjonalnej to samo obserwuje się dla ciągłych przekształceń liniowych, biorąc pod uwagę topologie na przestrzeniach liniowych z powyższego przykładu, jak również wiele innych ważnych przykładów obejmuje przestrzenie funkcyjne wyposażone w topologie; najbardziej znanymi przykładami są m.in. przestrzenie Hilberta i przestrzenie Banacha.
W analizie funkcjonalnej zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w pewien zbiór $X$ nazywa się przestrzenią ciągową; składa się ona ze zbioru wszystkich możliwych ciągów elementów zbioru $X .$
W topologii można próbować ustalić topologię na przestrzeni funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej $X$ w inną przestrzeń topologiczną $Y,$ których przydatność zależy od natury tych przestrzeni. Powszechnie używanym przykładem jest topologia zwarto-otwarta, np. przestrzeń pętli. Innym jest topologia produktowa określona na przestrzeni funkcji (niekoniecznie ciągłych) $Y^{X} .$ W tym kontekście topologię tę nazywa się także topologią zbieżności punktowej.
W topologii algebraicznej teoria homotopii zajmuje się w istocie badaniem dyskretnych niezmienników przestrzeni funkcyjnych.
W teorii procesów stochastycznych podstawowym problemem technicznym jest skonstruowanie miary probabilistycznej na przestrzeni funkcyjnej ścieżek procesu (funkcje czasu).
W teorii kategorii przestrzeń funkcyjną nazywa się obiektem wykładniczym bądź eksponentem. Z jednej strony pojawia się on jako reprezentacja bifunktora kanonicznego, ale jako (pojedynczy) funktor typu $[X, \cdot]$ jawi się on jako funktor dołączony do funktora typu $(\cdot \times X)$ na obiektach.
w programowaniu funkcyjnym i rachunku lambda wykorzystuje się typy przestrzeni funkcyjnych do wyrażenia idei funkcji wyższego rzędu.
w teoria dziedzin poszukuje się przede wszystkim konstrukcji opartych na częściowych porządkach, które mogłyby modelować rachunek lambda poprzez uzyskanie porządnej kartezjańsko domkniętej kategorii.

Zobacz też

oraz:

Bibliografia

F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, Tom 1, s. 203–223.

Szablon:Funkcje matematyczne

Szablon:Kontrola autorytatywna