Przestrzeń Sobolewa

Przestrzeń Sobolewa – przestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni L^p, których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do L^p. Przestrzenie Sobolewa są stosowane w teorii równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wariacyjnym.

Konstrukcja

Szablon:Zobacz też Niech $m$ i $n$ będą ustalonymi liczbami naturalnymi, $p$ będzie liczbą z przedziału $[1,\mathrm{\infty }]$ oraz $\mathrm{\Omega }$ będzie otwartym podzbiorem ${ℝ}^n.$ Przestrzenią Sobolewa $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji $u\in L^p(\mathrm{\Omega }),$ dla których $D^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega }),$ gdzie $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$ jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

$|\alpha |={\alpha }_1+\dots +{\alpha }_n⩽m,$

oraz symbol $D^{\alpha }u$ oznacza słabą pochodną funkcji $u$ rzędu $\alpha .$

Przestrzeń $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}}=(\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^p}^p{)}^{\frac{1}{p}},$

w przypadku $1⩽p<\mathrm{\infty }$ oraz:

$\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}}=\sum _{|\alpha |⩽m}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}}$

w przypadku $p=\mathrm{\infty }.$

Własności

• $W^{0,p}(\mathrm{\Omega })=L^p(\mathrm{\Omega }).$
• Przestrzeń $H^m(\mathrm{\Omega }):=W^{m,2}(\mathrm{\Omega })$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

$⟨u,v{⟩}_{H^m}=\sum _{|\alpha |⩽m}⟨D^{\alpha }u,D^{\alpha }v{⟩}_{L^2}.$

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa $W^{m,p}(\mathrm{\Omega })$ dla $1⩽p<\mathrm{\infty }$ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na $\mathrm{\Omega }$ (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech $N$ oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od $m,$ tzn.

$N=\sum _{1⩽|\alpha |⩽m}1,$

oraz $L_N^p=L^p(\mathrm{\Omega })\times \dots \times L^p(\mathrm{\Omega }).$ Przestrzeń $L_N^p$ jest przestrzenią Banacha z normą

$\Vert (u_1,\dots ,u_N)\Vert ={(\sum _{j=1}^N(\Vert u_j{\Vert }_{L^p}{)}^p)}^{\frac{1}{p}}.$

Przestrzeń sprzężona $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji $T$ na $\mathrm{\Omega },$ dla których

$T=\sum _{1⩽|\alpha |⩽m}(-1{)}^{|\alpha |}{D}^{\alpha }{T}_{v_{\alpha }},$

dla pewnego $v=(v_{\alpha }{)}_{1⩽|\alpha |⩽m}\in L_N^q$ oraz $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$ Ponadto,

$\Vert T{\Vert }_Y=\inf \Vert v{\Vert }_{L_N^q},$

gdzie kres brany jest po wszystkich $v\in L_N^q,$ dla których $T$ można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ dla $1⩽p<\mathrm{\infty }:$ Przestrzeń $(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}$ można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

$L^q(\mathrm{\Omega }):=L_{\sim }^q$

wyposażonej w normę

$\Vert v{\Vert }_{L_{\sim }^q}=\sup \{⟨u,v⟩:u\in W^{m,p}(\mathrm{\Omega }),\Vert u{\Vert }_{W^{m,p}(\mathrm{\Omega })}⩽1\},$

tzn.

$(W^{m,p}(\mathrm{\Omega }){)}^{*}=\overline{L_{\sim }^q}$

gdzie $q$ jest wykładnikiem sprzężonym do $p.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Sobolev space Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].