Słaba pochodna

Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Ustalenia wstępne

Niech $U\subseteq {ℝ}^N$ będzie obszarem oraz niech $C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w $U$ ze zwartym nośnikiem, zawartym w $U.$ Ponadto, niech $\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U).$

Jeśli $u$ jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły w $U,$ to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją $\varphi$ ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):

$\underset{U}{\int }u\frac{\partial \varphi }{\partial x_i}dx=-\underset{U}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}\varphi dx$

dla $1⩽i⩽N.$

Ogólniej, jeśli $u$ jest funkcją $k$-krotnie różniczkowalną w sposób ciągły w $U,$ a $\alpha$ jest wielowskaźnikiem, to

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\varphi dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }{D}^{\alpha }u\varphi dx.$

W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji $u$. Powstaje wówczas pytanie, czy istnieje funkcja $v,$ dla której zastąpienie $D^{\alpha }u=v$ w powyższym wzorze daje tożsamość prawdziwą dla wszystkich $\varphi$.

Definicja

Niech funkcje $u,v$ będą lokalnie całkowalne w zbiorze $U$ oraz niech $\alpha$ będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\varphi dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\varphi dx$

dla każdej funkcji $\varphi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U).$ Jeśli $v$ jest $\alpha$-tą słabą pochodną funkcji $u,$ to zapisujemy to

$v=D^{\alpha }u.$

Uwaga

• Jeśli dwie funkcje $v_1,v_2$ spełniają powyższy warunek, to zachodzi równość $v_1=v_2$ prawie wszędzie w $U$. Innymi słowy, jeśli słaba pochodna istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.

Przykład

Funkcja $f:(-1,1)\to [0,1]$ dana wzorem

$f(x)=|x|$

nie jest różniczkowalna w punkcie $x_0=0$, jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.

Zobacz też

• podróżniczka
• przestrzeń Sobolewa