Rachunek wariacyjny

Problem brachistochrony – klasyczne zagadnienie rachunku wariacyjnego

Katenoida ma najmniejsze pole wśród powierzchni łączących dwa równe okręgi. Jest to rozwiązanie przykładowego zagadnienia Plateau.

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Początków powstania rachunku wariacyjnego należy szukać w rywalizacji braci Jakoba oraz Johanna Bernoullich oraz problemu brachistochronySzablon:Odn.

Uwagi ogólne

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji $f(𝐫).$ Jest ono osiągane w punkcie ${𝐫}_o$ mającym tę własność, że $f({𝐫}_o+\delta 𝐫)<f({𝐫}_o)$ w przypadku maksimum i $f({𝐫}_o+\delta 𝐫)>f({𝐫}_o)$ w przypadku minimum, gdzie $\delta 𝐫$ jest małą wariacją zmiennej $𝐫.$

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji ${𝐪}_o(𝐫),$ dla której funkcjonał $U[𝐪]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }F[𝐪(𝐫)]d𝐫$ ma tę własność, że $U[{𝐪}_o+\delta 𝐪]<U[{𝐪}_o]$ w przypadku maksimum i $U[{𝐪}_o+\delta 𝐪]>U[{𝐪}_o]$ w przypadku minimum, gdzie $\delta 𝐪$ jest małą wariacją funkcji $𝐪(𝐫).$

Poszukiwanie ekstremum funkcji $f(x)$(o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania $f^{\text{'}}(x)=0,$ które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału $U[y]$ wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji $y(x).$

Przykładowe zagadnienia

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty

Szablon:Osobny artykuł Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej (${ℝ}^2$ z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty $A$ i $B$ dana jest funkcją $y(x):[0,1]\to ℝ,$ taką, że $A=(0,y_0)$ i $B=(1,y_1),$ gdzie $y_i=y(i).$

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

$\mathrm{\Delta }l=\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}$ gdzie $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

$l=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx.$

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

$y=(y_1-y_0)x+y_0.$

Najkrótszy czas przejazdu

Pomiędzy miejscowościami $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie $P(x,y)$ musi zachować prędkość o wartości $v(x,y).$ Zakładając, że element trasy $ds$ pojazd przebywa w czasie $dt=ds/v,$ możemy czas $T$ przejazdu z A do B po trasie $y(x)$ obliczyć za pomocą całki

$T=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\frac{ds}{v}=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\frac{\sqrt{1+y^{\text{'}2}}}{v(x,y)}dx,$

której wartość zależy od wyboru trasy $y(x)$ i osiąga minimum dla trasy optymalnej $y_o(x).$

Zasada Fermata

Szablon:Osobny artykuł Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej $y(x),$ dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę $ds$ wynosi $dt=\frac{ds}{v}=\frac{1}{c}nds,$ gdzie $v$ jest prędkością światła w ośrodku, $c$ to prędkość światła w próżni, a $n$ to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

$\underset{A}{\overset{B}{\int }}nds.$

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}n(x,y)\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx,$

gdzie $y(x)$ to krzywa, po której porusza się promień, taka, że $A=(0,y(0))$ i $B=(1,y(1)).$

Metody rachunku wariacyjnego

Równania Eulera-Lagrange’a

Szablon:Osobny artykuł Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(x(t),\dot{x}(t),t)dt,$

to równania E-L mają postać

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0,$

gdzie $x$ może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0,$

gdzie $x_i$ jest $i$-tą współrzędną wektora $x.$

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-01].
• Szablon:Otwarty dostęp Variational calculus Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].