Brachistochrona

Brachistochrona

Brachistochrona, krzywa najkrótszego spadku (gr. βραχιστoς brachistos – „najkrótszy” + χρovoς chronos – „czas”) – krzywa, po której masa punktowa pod wpływem stałej siły (siły ciężkości) stacza się w możliwie najkrótszym czasie. Brachistochrona jest fragmentem cykloidy.

Zagadnienie brachistochrony było jednym z pierwszych, do rozwiązania którego wykorzystano rachunek wariacyjny. Problem brachistochrony postawiony został w 1696 przez Johanna Bernoulliego, był wynikiem rywalizacji braci Jakoba oraz Johanna Bernoullich. Problem znalezienia krzywej najszybszego spadku został rozwiązany niezależnie przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala.

Rozwiązanie zagadnienia

Przy założeniu, że równaniem szukanej krzywej jest $y=y(x),$ punkty $A$ i $B$ można zapisać następująco:

$A=(a,y(a))$ oraz $B=(b,y(b)).$

Rodzina funkcji (funkcjonał) spełniających założenia problemu jest opisana jako:

$F(y(x))=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{ds}{v},$

gdzie:

$ds=\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$ – długość krzywej,

$v$ – prędkość, którą można wyznaczyć z zasady zachowania energii:

$\frac{1}{2}m{v}^2=mg(y(a)-y(x)),$

stąd:

$v=\sqrt{2g(y(a)-y(x))}.$

Wyrażenia na $ds$ i $v$ można teraz wstawić do wyjściowej całki:

$F(y(x))=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2g(y(a)-y(x))}}dx.$

Nie zmniejszając ogólności rozważań można przyjąć punkt $A$ jako $A=(0,0),$ co upraszcza dalsze rachunki. Dodatkowo można założyć również, że oś $y$ skierowana jest do dołu. Zatem aby rozwiązać postawione zagadnienie, należy wyznaczyć ekstremum (minimum) funkcjonału:

$F(y(x))=\underset{0}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}}dx.$

Jako że zadana całka nie zależy jawnie od zmiennej $x$ można zamiast równania Eulera zastosować tożsamość Beltramiego $(f-y^{\prime }\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}=C):$

$\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}}-\sqrt{\frac{2gy(x)}{1+y^{\prime }(x{)}^2}}\frac{y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}=C,$

gdzie $C$ oznacza pewną stałą. Po uproszczeniu powyższego wyrażenia otrzymuje się:

$y(x)(1+y^{\prime }(x{)}^2)=\frac{1}{2g{C}^2}=k^2.$

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest cykloida postaci:

$x(\theta )=\frac{1}{2}{k}^2(\theta -\sin \theta ),$

$y(\theta )=\frac{1}{2}{k}^2(1-\cos \theta ).$

Zobacz też

• rachunek wariacyjny
• tautochrona

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, The Brachistochrone, with Steven Strogatz, kanał 3blue1brown, YouTube, 1 sierpnia 2016 [dostęp 2021-03-15].
• Michael Stevens, The Brachistochrone, kanał Vsauce na YouTube, 21 stycznia 2017 [dostęp 2021-03-15].