Powierzchnia

Szablon:Inne znaczenia Szablon:Wikisłownik Powierzchnia – zbiór punktów (miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.

Definicja formalna

Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.

Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.

Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej

Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z ${ℝ}^2$) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy, że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:

1. Sferę $S^2$
2. Sumę spójną (wzdłuż $S^1$) g torusów dla $g⩾1$
3. Sumę spójną (wzdłuż $S^1$) k kopii $ℝP^2$ dla $n⩾1$

Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne mają nietrywialną najwyższą grupę homologii $H_2({\mathrm{\Sigma }}_g)=\mathbb{Z}$ a nieorientowalne nie $(H_2({\mathrm{\Gamma }}_k)=0).$

Przykłady powierzchni

• helikoida
• hiperboloida
• płaszczyzna
• powierzchnia stożkowa
• powierzchnia wielościenna
• rogata sfera Alexandera
• sfera
• torus

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-11-22].
• Szablon:Otwarty dostęp Surface Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-11-22].