Torus (matematyka)

Torus z pokazanym najprostszym podziałem, pozwalającym obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1)

Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej goSzablon:Odn^[1]. Często oznacza się go symbolem $T^{2}$ lub $𝕋^{2} .$

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje

Niech okrąg definiujący torus ma promień $r,$ oś obrotu pokrywa się z osią $O Z$ układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi $R$ oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie $O X Y .$

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}} - R)}^{2} + z^{2} = r^{2} .

Pole powierzchni torusa jest równeSzablon:Odn:

S = 4 π^{2} r R,

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równaSzablon:Odn:

V = 2 π^{2} R r^{2} .

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $x z$ o środku w punkcie $(R, 0, 0)$ i promieniu $r,$ gdzie $R > r > 0 .$ Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

f (α) = (R + r \cos α, 0, r \sin α) .

Obróćmy ten okrąg o kąt $β$ wokół osi $z .$ W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

U_{β} = [\begin{matrix} \cos β & - \sin β & 0 \\ \sin β & \cos β & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] .

Zatem:

p (α, β) = U_{β} \cdot f^{T} (α) = [\begin{matrix} \cos β & - \sin β & 0 \\ \sin β & \cos β & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} R + r \cos α \\ 0 \\ r \sin α \end{matrix}] = [\begin{matrix} (R + r \cos α) \cos β \\ (R + r \cos α) \sin β \\ r \sin α \end{matrix}] .

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

p (α, β) = ((R + r \cos α) \cos β, (R + r \cos α) \sin β, r \sin α) .

Krzywizna Gaussa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $p (α, β) = (g (α), h (α) \cos β, h (α) \sin β)$ w punkcie $P = p (α, β)$ można wyznaczyć ze wzoru:

K_{P} = \frac{g^{'} (g^{″} h^{'} - h^{″} g^{'})}{h {(g'^{2} + h'^{2})}^{2}} .

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

h (α) = R + r \cos α, g (α) = r \sin α .

Stąd:

h^{'} (α) = - r \sin α, g^{'} (α) = r \cos α;

h^{″} (α) = - r \cos α, g^{″} (α) = - r \sin α .

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

K_{P} = \frac{\cos α}{r (R + r \cos α)} .

Zauważmy, że:

dla $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ mamy $\cos α > 0,$ czyli $K_{P} > 0$ na zewnętrznej stronie torusa;
dla $α = - \frac{π}{2}, α = \frac{π}{2}$ mamy $\cos α = 0,$ czyli $K_{P} = 0$ na górze i dole torusa;
dla $\frac{π}{2} < α < \frac{3 π}{2}$ mamy $\cos α < 0,$ czyli $K_{P} < 0$ po wewnętrznej stronie torusa;
gdy $α = 0,$ wówczas $K_{P}$ przyjmuje maksimum, tj. $K (0) = \frac{1}{r (R + r)}$ na największym okręgu (równoleżniku);
gdy $α = π,$ wówczas $K_{P}$ przyjmuje minimum, tj. $K (π) = \frac{- 1}{r (R - r)}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową $ℝ^{2} / \sim,$ gdzie $\sim$ jest relacją równoważności określoną następująco:

(x, y) \sim (x^{'}, y^{'}) \Leftrightarrow x - x^{'} \in ℤ, y - y^{'} \in ℤ .

Wynika stąd istnienie odwzorowania $p : ℝ^{2} \to T^{2},$ $f (x, y) = [(x, y)]_{\sim},$ które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji $\sim$ i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.