Krzywizna Gaussa

Trzy powierzchnie o różnej krzywiźnie Gaussa – od lewej do prawej: hiperboloida (ujemna krzywizna Gaussa), walec (zerowa krzywizna Gaussa) oraz sfera (dodatnia krzywizna Gaussa).

Krzywizna Gaussa jest miarą zakrzywienia powierzchni $M\subset {ℝ}^3$ w punkcie $x\in {ℝ}^3.$

Definicja

Krzywizną Gaussa powierzchni $M\subset {ℝ}^3$ w punkcie $x\in {ℝ}^3$ nazywamy liczbę $\mathrm{K}$ równą $\mathrm{K}={\kappa }_1{\kappa }_2,$ gdzie ${\kappa }_i$ są krzywiznami głównymi rozważanej powierzchni $M$ w punkcie $x.$

Krzywizna Gaussa może być wyliczona jako iloraz wyznaczników pierwszej i drugiej formy podstawowej powierzchni: $\mathrm{K}=\frac{\det (II)}{\det (I)}.$

Może być również wyliczona za pomocą symboli Christoffela:

$\mathrm{K}=-\frac{1}{E}(\frac{\partial }{\partial u}{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-\frac{\partial }{\partial v}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2)$

Twierdzenia

• Theorema Egregium: Krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem lokalnych izometrii.
• Twierdzenie Gaussa-Bonneta: Całkowita krzywizna Gaussa $\underset{M}{\int }\mathrm{K}dS$ zwartej powierzchni bez brzegu jest równa charakterystyce Eulera powierzchni pomnożonej przez $2\pi .$