Charakterystyka Eulera

Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-Poincarégo – niezmiennik topologiczny początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.

Powierzchnie wielościanów wypukłych

Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu $W=1,$ $K=2,$ $S=1$).

Wprowadźmy oznaczenia:

• $W$ – liczba wierzchołków,
• $S$ – liczba ścian,
• $K$ – liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą $\chi ,$ dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:

$\chi =W-K+S.$

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

$W+S=K+2.$

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem $2.$

Własność ta została po raz pierwszy zauważona (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre.

Wielościany dowolne

Ta sama definicja (czyli $\chi =W-K+S$) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.

Definicja ogólna

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako

$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i\text{rank}(H_i(X)),$

gdzie $\text{rank}(H_i(X))$ jest rangą $i$-tej grupy homologii (tj. $i$-tą liczbą Bettiego) przestrzeni $X.$ Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.

W przypadku, gdy $X$ jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa

$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{k}_i,$

gdzie $k_i$ oznacza liczbę komórek wymiaru $i.$ W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych $k_i$ oznacza liczbę $i$-wymiarowych sympleksów.

Powierzchnie

Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.

Nazwa powierzchni	Wygląd	Charakterystyka Eulera
Sfera		2
Torus		0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem)		0
Butelka Kleina		0
Płaszczyzna rzutowa rzeczywista		1
Dwie sfery (niepołączone)		2 + 2 = 4
$n$ niepołączonych sfer		$2n$

Uogólnienia

• Jeżeli $X$ jest skończonym wielościanem, to $\chi (X)$ jest równa liczbie Lefschetza identyczności ${\text{id}}_X.$
• Niech $𝒞$ będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez $A_1,\dots ,A_n$ jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz $M_{𝒞}$ wymiaru $n\times n,$ gdzie $m_{ij}$ jest liczbą morfizmów $A_i\to A_j.$ Jeżeli istnieją takie $[x^1,\dots ,x^n],[x_1,\dots ,x_n]\in {\mathbb{Q}}^n,$ że

$M_{𝒞}\left[\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\\ \dots \\ x^n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ \dots \\ 1\end{array}\right]\text{ oraz }\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\end{array}\right]M_{𝒞}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \dots & 1\end{array}\right],$ to $\sum _{i=1}^n{x}^i=\sum _{i=1}^n{x}_i.$

Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii $𝒞.$ Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii $𝒞$ jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa $\chi (𝒞).$

Aksjomatyzacja

Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną całkowitoliczbową funkcją $ϵ$ określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:

• $ϵ(X)=ϵ(A)+ϵ(X/A),$
• $ϵ({𝕊}^0)=1,$

dla dowolnej pary wielościanów $A\subseteq W.$

Zobacz też

• genus, niezmiennik powiązany z Ch. Eulera
• krzywizna Gaussa

Linki zewnętrzne

• Szablon:Pismo Delta
• Szablon:MathWorld [dostęp 2023-06-18].