Szereg Laurenta

Obszar zbieżności szeregu Laurenta.

Szereg Laurenta funkcji zespolonej $f(z)$ to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Ogólny wzór

Jeżeli funkcję $f(z)$ możemy zapisać jako sumę funkcji $\varphi (z)$ oraz $\psi (z),$ takich że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

$\varphi (z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n$ (część regularna)

$\psi (z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{-n}(z-c{)}^{-n}$ (część osobliwa)

gdzie c - dowolnie wybrana, stała liczba zespolona, zwana środkiem szeregu, to funkcję $f(z)$ przedstawiamy w postaci:

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-c{)}^n.$

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji $f(z)=\varphi (z)+\psi (z).$ Część regularna jest zbieżna w kole $|z-c|<R,$ a część osobliwa na zewnątrz koła $|z-c|⩽r$ gdzie

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n{|}^{\frac{1}{n}},$

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_{-n}{|}^{\frac{1}{n}}.$

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu $r<|z-c|<R.$ Jeżeli funkcja $f(z)$ jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki $a_n$ wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem :

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\oint }\frac{f(z)dz}{(z-c{)}^{n+1}}.$

gdzie $\gamma$ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt $c$ jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta

$f(z)=z^2{e}^{\frac{1}{z}},c=0$

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

$e^w=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{w^n}{n!},w\in ℂ$

$z^2{e}^{\frac{1}{z}}=z^2(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\dots )=$

$=z^2+z+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!z}+\dots +\frac{1}{(n+2)!z^n}+\dots ,z\in ℂ\mathrm{\setminus }\{0\}.$

Jeżeli x jest równe e^w to jest dodawane z piłką o wymiaże krążka 50π

Pierwsze trzy składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.

piłka 50π

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld