Kryterium Kummera

Kryterium Kummera (albo kryterium Diniego-KummeraSzablon:Odn) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1835^[1] przez Ernsta Kummera. W 1867 Ulisse Dini opuścił założenie $a_{n} \cdot c_{n} \to 0$ (zob. wypowiedź kryterium niżej), którego używał Kummer w swojej pracySzablon:Odn. Inny dowód kryterium Kummera podał w 1994 Jingcheng Tong^[2].

Kryterium

Niech dany będzie szereg

Szablon:Wzór

o wyrazach dodatnich oraz niech $(c_{n})$ będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

Szablon:Wzór

Niech ponadto

K_{n} = c_{n} \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - c_{n + 1} (n \in ℕ) .

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r > 0$ spełniona jest nierówność

K_{n} ⩾ r

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

K_{n} ⩽ 0

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna kryterium

Kryterium Kummera można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(K_{n})$ jest zbieżny do pewnego $K,$ to

szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $K > 0,$ oraz
szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $K < 0$ Szablon:Odn.

W przypadku, gdy $K = 0$ kryterium nie rozstrzyga.

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera

Kryterium d’Alemberta

Niech $c_{n} = 1$ dla wszelkich $n .$ Wówczas

K_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1 .

Jeżeli ciąg

D_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

jest zbieżny do pewnego $K$ to również ciąg $(K_{n})$ jest zbieżny oraz $K = 1 / D - 1 .$ Jeżeli $D < 1,$ to $K > 0,$ a więc szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny. Jeżeli $D > 1,$ to $K < 0,$ a wówczas szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’AlembertaSzablon:Odn.

Kryterium Raabego

Z rozbieżności szeregu harmonicznego

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}

wynika, że ciąg $c_{n} = n$ spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

K_{n} = n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - (n + 1) = R_{n} - 1,

gdzie $R_{n}$ jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium RaabegoSzablon:Odn Szablon:Odn.

Dowód

W przypadku, gdy dla prawie wszystkich $n$ spełniona jest nierówność $K_{n} \geq r > 0,$ dla tych samych $n$ zachodzi także

c_{n} a_{n} - c_{n + 1} a_{n + 1} ⩾ r \cdot a_{n + 1} .

Stąd

c_{n} a_{n} - c_{n + 1} a_{n + 1} > 0,

a zatem

c_{n} a_{n} > c_{n + 1} a_{n + 1} .

Ciąg $(c_{n} \cdot a_{n})$ maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} (c_{n} a_{n} - c_{n + 1} a_{n + 1})

jest zbieżny, bo jego $n$ -ta suma częściowa wynosi $c_{1} \cdot a_{1} - c_{n + 1} \cdot a_{n + 1},$ a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu

\sum_{n = 1}^{\infty} r \cdot a_{n + 1},

a więc i także samego szeregu Szablon:LinkWzór Szablon:Odn.

W przypadku, gdy $K_{n} < 0$ dla prawie wszystkich $n,$ dla tych $n$ zachodzi nierówność

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ⩾ \frac{\frac{1}{c_{n + 1}}}{\frac{1}{c_{n}}} .

Z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika wówczas rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzór Szablon:Odn Szablon:Odn.

Przypisy

Szablon:Przypisy

Bibliografia

↑ E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184.
↑ J. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452.

[1] E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184.

[2] J. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452.

[1]

[2]

Kryterium Kummera

Spis treści

Kryterium

Wersja graniczna kryterium

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera

Kryterium d’Alemberta

Kryterium Raabego

Dowód

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Kryterium Kummera

Kryterium

Wersja graniczna kryterium

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera

Kryterium d’Alemberta

Kryterium Raabego

Dowód

Przypisy

Bibliografia

Menu nawigacyjne

Szukaj