Kryterium d’Alemberta

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’AlembertaSzablon:Odn) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

o wyrazach dodatnich oraz niech

$D_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}(n\in \mathbb{N}).$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r<1$ spełniona jest nierówność

$D_n⩽r,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$D_n>1,$

to szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

$D=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{D}_n,$

to

• gdy $D<1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, oraz
• gdy $D>1,$ szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{D}_n=1.$

Istotnie, rozważmy ciągi

$a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{1}{n^2}.$

Wówczas

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_{n+1}}{b_n}=1.$

Jednak szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski)Szablon:OdnSzablon:Odn.

Dowód

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r<1$ spełniona jest nierówność

$D_n⩽r.$

Stąd

$a_{n+1}⩽r\cdot a_n$

dla każdego $n⩾N.$ Oznacza to, że dla każdego $n>N$ spełniona jest nierówność

$a_{N+n}⩽r^n\cdot a_N.$

Szereg

$a_N+r\cdot a_N+r^2\cdot a_N+r^3{a}_N+\dots$

jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie $r<1.$ Ponadto, majoryzuje on szereg

$a_N+a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\dots$

Na mocy kryterium porównawczego szereg Szablon:LinkWzór jest zatem zbieżnySzablon:OdnSzablon:Odn.

W przypadku gdy istnieje taka liczba $N,$ że nierówność

$\frac{a_{n+1}}{a_n}⩾1$

zachodzi dla wszystkich $n⩾N,$ szereg Szablon:LinkWzór nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżnySzablon:Odn.

Przykłady zastosowania

• Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny $a_n$ szeregu Szablon:LinkWzór zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}.$

Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci

$a_n=\frac{n!}{n^n}.$

Mamy

$D_n=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{n!(n+1)}{n!}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^n(n+1)}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^n}.$

Zatem korzystając z granicy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e,$

otrzymujemy

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{D}_n=\frac{1}{e}<1,$

co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.

• Niech

$a_n=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)}{3^n}=\frac{(2n)!}{6^{n}n!}(n\in \mathbb{N}).$

Wówczas

$D_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{6^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{6^{n}n!}{(2n)!}=\frac{1}{6}\cdot \frac{(2n+1)(2n+2)}{n+1}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\mathrm{\infty }.$

Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1)}{3^n}$

jest rozbieżny.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów, kanał Khan Academy na YouTube, 19 lipca 2016 [dostęp 2024-06-22].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-06-20].