Zmodyfikowana transformata Z

Zmodyfikowana transformata Z (oznaczana Z_m) – odmiana transformaty Z, pozwalająca wyznaczyć oryginał transformaty dyskretnej w chwilach niebędących chwilami próbkowania, dzięki fikcyjnemu opóźnieniu funkcji $f(t)$ o odcinek $\mathrm{\Delta }T.$ Jest to korzystne w momencie, gdy dla dwóch różnych funkcji $f_1(t)$ i $f_2(t)$ otrzymuje się te same transformaty Z: $F_1(z)=F_2(z).$

Zmieniając opóźnienie $\mathrm{\Delta }T$ w sposób ciągły, w granicach od 0 do $T,$ można uzyskać wartości funkcji $f(t)$ nie tylko dla $t=kT(k=1,2,...),$ ale również dla wszystkich wartości czasu:

$t=(k-\mathrm{\Delta })T\text{ dla }0⩽\mathrm{\Delta }⩽1.$

Dogodnie jest stosować podstawienie:

$\mathrm{\Delta }=1-m\text{ dla }0⩽m⩽1,$

w wyniku którego otrzymuje się:

$t=(k-1+m)T.$

Zmodyfikowana transformata Z definiowana jest wzorem:

$F(z,m)=Z_m\{f[(k-1+m)T]\}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f[(k-1+m)T]z^{-k}.$

W szczególności dla m = 1 otrzymuje się zwykłą transformatę Z:

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(kT)z^{-k}=F(z).$

Tabela transformat Z_m

f(t)	F(z,m)
1(t)	$\frac{z}{z-1}$
t	$\frac{mT}{z-1}+\frac{T}{(z-1{)}^2}$
e−at	$\frac{e^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
1 – e−at	$\frac{1}{z-1}+\frac{e^{-amT}}{z-e^{-aT}}$
sin ωt	$\frac{z\sin (m\omega T)+\sin [(1-m)\omega T]}{z^2-2z\cos \omega T+1}$

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• transformata Laplace’a
• odwrotna transformata Laplace’a
• transformata Z
• odwrotna transformata Z