Twierdzenie Plancherela

Twierdzenie Plancherela – twierdzenie z zakresu analizy harmonicznej, udowodnione przez Michela Plancherela w 1910 roku. Głosi ono, że istnieje odwzorowanie $F:L^2\to L^2$ o następujących własnościach:

• dla $f\in L^1\cap L^2,$ jest $F(f)=\hat{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx$
• dla dowolnej $f$ jest $\Vert f{\Vert }_2=\Vert \hat{f}{\Vert }_2$
• $F$ jest izometrią przestrzeni $L^2$ na siebie
• jeśli ${\phi }_A(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-A}{\overset{A}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx$ oraz ${\vartheta }_A(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-A}{\overset{A}{\int }}\hat{f}(x)e^{i\omega x}d\omega ,$

to $\Vert {\phi }_A-\hat{f}{\Vert }_2\to 0$ oraz $\Vert {\vartheta }_A-f{\Vert }_2\to 0$ przy $A\to \mathrm{\infty }.$

Przekształcenie $F$ określa transformatę Fouriera (Fouriera-Plancherela) na przestrzeni $L^2.$ Na podprzestrzeni $L^1\cap L^2$ jest to klasyczna transformata Fouriera funkcji całkowalnej. Ostatni podpunkt wskazuje metodę rozszerzenia transformaty i transformaty odwrotnej na całą $L^2.$

Zobacz też

• przestrzeń Lp

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę