Kumulanta

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami ${\kappa }_n$ rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

$E\left(e^{tX}\right)=\exp (\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\kappa }_n{t}^n/n!),$

gdzie $X$ jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, $\frac{{\kappa }_n}{n!}$ jest $n$-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Niektóre własności kumulant

Niezmienniczość

Zachodzą następujące własności:

• ${\kappa }_1(X+c)={\kappa }_1(X)+c,$
• ${\kappa }_n(X+c)={\kappa }_n(X)$ dla $n⩾2,$

gdzie $c$ jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

Jednorodność

Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:

${\kappa }_n(cX)=c^n\kappa (X).$

Addytywność

Jeśli $X$ i $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

${\kappa }_n(X+Y)={\kappa }_n(X)+{\kappa }_n(Y).$

Kumulanty i momenty

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

${\kappa }_n=m_n-\sum _{k=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}){\kappa }_k{m}_{n-k}.$

$n$-ty moment zwykły $m_n$ jest wielomianem $n$-tego stopnia w pierwszych $n$ kumulantach, zatem:

$m_1={\kappa }_1$

$m_2={\kappa }_2+{\kappa }_1^2$

$m_3={\kappa }_3+3{\kappa }_2{\kappa }_1+{\kappa }_1^3$

$m_4={\kappa }_4+4{\kappa }_3{\kappa }_1+3{\kappa }_2^2+6{\kappa }_2{\kappa }_1^2+{\kappa }_1^4$

$m_5={\kappa }_5+5{\kappa }_4{\kappa }_1+10{\kappa }_3{\kappa }_2+10{\kappa }_3{\kappa }_1^2+15{\kappa }_2^2{\kappa }_1+10{\kappa }_2{\kappa }_1^3+{\kappa }_1^5$

$m_6={\kappa }_6+6{\kappa }_5{\kappa }_1+15{\kappa }_4{\kappa }_2+15{\kappa }_4{\kappa }_1^2+10{\kappa }_3^2+60{\kappa }_3{\kappa }_2{\kappa }_1+20{\kappa }_3{\kappa }_1^3+15{\kappa }_2^3+45{\kappa }_2^2{\kappa }_1^2+15{\kappa }_2{\kappa }_1^4+{\kappa }_1^6.$

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie ${\kappa }_1$ występuje jako czynnik.

Kumulanty i podział zbioru

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

$m_n=\sum _{\pi }\prod _{B\in \pi }{\kappa }_{\left|B\right|},$

gdzie:

• $\pi$ przebiega przez wszystkie podziały zbioru $n$-elementowego,
• „$B\in \pi$” jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony,
• $|B|$ jest liczebnością zbioru $B.$

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi $n$ (np. dla ${\kappa }_3{\kappa }_2^2{\kappa }_1,$ suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej $n$ odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów $n$-elementowego zbioru, które łączą się w podziały $n$ kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• Kumulanty rozkładu normalnego o średniej $\mu$ i odchyleniu standardowym $\sigma$ wynoszą ${\kappa }_1=\mu ,$ ${\kappa }_2={\sigma }^2$ i ${\kappa }_n=0$ dla $n>2.$

• Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej tego rozkładu.

• Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony ciągiem Grama-Charliera lub ciągiem Edgewortha.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• moment zwykły, moment centralny