Moment centralny

Moment centralny rzędu $k$ (gdzie $k=1,2,\dots$) zmiennej losowej $X$ to wartość oczekiwana funkcji $[X-E(X){]}^k,$ tzn.:

${\mu }_k=E[X-E(X){]}^k=\{\begin{array}{cc}\sum _i[x_i-E(X){]}^k{p}_i& (1)\\ \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[x-E(X){]}^{k}f(x)dx& (2)\end{array}$

gdzie:

$X$ – zmienna losowa,

$E(X)$ – wartość oczekiwana zmiennej losowej $X,$

$p$ – funkcja prawdopodobieństwa,

$f$ – funkcja gęstości.

Wzory (1) i (2) stosować należy odpowiednio dla zmiennej losowej o rozkładzie dyskretnym i ciągłym.

Dla $k=2$ otrzymuje się wzór na wariancję, zatem jest ona drugim momentem centralnym ${\mu }_2.$ Często korzysta się również z trzeciego momentu centralnego, którego wartość pozwala wnioskować o asymetrii rozkładu empirycznego. Czwarty moment centralny znajduje swe zastosowanie przy obliczaniu kurtozy.

Zobacz też

• moment zwykły