Kurtoza

Szablon:Dopracować Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtos – wydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy statystycznej. W praktyce definiuje się ją najczęściej w formie tzw. kurtozy nadwyżkowej (nazywanej ekscesem lub współczynnikiem ekscesu, ang. excess kurtosis):

${\text{Kurt}}_E=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3,$

gdzie:

${\mu }_4$ – czwarty moment centralny,

$\sigma$ – odchylenie standardowe.

Interpretacja

Klasyczny współczynnik kurtozy definiowany jest jako standaryzowany moment centralny czwartego rzędu:

$\mathrm{Kurt}[X]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^4\right]=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^4]}{{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2])}^2}=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}.$

Kurtoza nadwyżkowa (inaczej współczynnik ekscesu lub po prostu eksces: ${\text{Kurt}}_E[X]=\text{Kurt}[X]-3$) jest jednak wygodniejsza, gdyż:

• kurtoza nadwyżkowa rozkładu normalnego wynosi 0,
• jeśli $Y$ jest sumą $n$ niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej $X,$ zachodzi własność: ${\text{Kurt}}_E[Y]={\text{Kurt}}_E[X]/n.$

Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy „spłaszczenia”, „wysmukłości” ani „spiczastości” rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w „ogonach” rozkładu, natomiast kształt „czubka” rozkładu jest praktycznie bez znaczenia.

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

• mezokurtyczne (Kurt_E = 0) – wartość kurtozy nadwyżkowej wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza nadwyżkowa wynosi dokładnie 0),
• leptokurtyczne (Kurt_E > 0) – kurtoza nadwyżkowa jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „grubsze”),
• platykurtyczne (Kurt_E < 0) – kurtoza nadwyżkowa jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony” rozkładu są „węższe”).

Kurtoza nadwyżkowa z próby wyraża się wzorem:

${\text{Kurt}}_E=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^4}{{\sigma }^4}-3,$

gdzie:

$x_i$ – $i$-ta wartość cechy,

$\mu$ – wartość oczekiwana w populacji,

$\sigma$ – odchylenie standardowe w populacji,

$n$ – liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy nadwyżkowej z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

${\text{Kurt}}_E=\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}\sum _{i=1}^N{\left(\frac{x_i-\overline{x}}{s}\right)}^4-\frac{3(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)},$

gdzie:

$\overline{x}$ – średnia z próby,

$s$ – odchylenie standardowe z próby,

$x_i$ – kolejne wartości cechy,

$n$ – liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnego

${\text{Kurt}}_E=\frac{{\mu }_4(X)}{{\sigma }^4}-3=0$

Dowód

Niech:

$X:\mathrm{\Omega }\to ℝ,$

${\text{Kurt}}_E=\frac{{\mu }_4(X)}{{\sigma }^4}-3,$

${\mu }_n(X)=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X{)}^n)$ – moment centralny n–tego rzędu,

$m_n(X)=\mathrm{E}((X{)}^n)$ – moment zwykły n–tego rzędu,

Dystrybuanta rozkładu normalnego oraz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego to odpowiednio:

$P_x(A)=\underset{A}{\int }f(x)dx,f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}},dlax\in ℝ.$

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

$m=\mathrm{E}X=m_1(X),$

${\sigma }^2={\mathrm{D}}^{2}X=\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X{)}^2)={\mu }_2(X).$

Mamy:

a)

$m_n(X)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{X}^n(w)P(dw)=\underset{ℝ}{\int }{x}^{n}f(x)dx,$

b)

$\begin{array}{cc}{\mu }_4(X)& =\mathrm{E}((X-\mathrm{E}X{)}^4)\\ & =\mathrm{E}(X^4-4(\mathrm{E}X)X^3+6(\mathrm{E}X{)}^2{X}^2-4(\mathrm{E}X{)}^{3}X+(\mathrm{E}X{)}^4)\\ & =\mathrm{E}(X^4)-4m\mathrm{E}(X^3)+6\mathrm{E}(X^2)(\mathrm{E}X{)}^2-4(\mathrm{E}X{)}^{3}m+m^4\\ & =\mathrm{E}(X^4)-4m\mathrm{E}(X^3)+6m^2\mathrm{E}(X^2)-3m^4.\end{array}$

Obliczamy momenty zwykłe:

$\mathrm{E}(X^2)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(z\sqrt{2}\sigma +m{)}^2{e}^{-z^2}\sqrt{2}\sigma dz{=}^{*}$

$z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma },x=z\sqrt{2}\sigma +m$

$dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma },dx=\sqrt{2}\sigma dz$

${=}^{*}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(2z^2{\sigma }^2+2\sqrt{2}z\sigma m+m^2)e^{-z^2}dz=$

$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(2{\sigma }^2\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz\right)+2\sqrt{2}\sigma m{\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}z{e}^{-z^2}dz\right)}_{=0}+m^2{\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz\right)}_{=\sqrt{\pi }})=$

$=\frac{1}{\sqrt{\pi }}(2{\sigma }^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz+m^2\sqrt{\pi }){=}^{*}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}z\cdot z{e}^{-z^2}dz=-\frac{1}{2}z{e}^{-z^2}{|}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz=$

$=-\frac{1}{2}z{e}^{-z^2}{|}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

${=}^{*}\frac{1}{\sqrt{\pi }}(2{\sigma }^2\frac{\sqrt{\pi }}{2}+m^2\sqrt{\pi })={\sigma }^2+m^2$

$\mathrm{E}(X^3)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^3\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(z\sqrt{2}\sigma +m{)}^3{e}^{-z^2}dz{=}^{*}$

$z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma },x=z\sqrt{2}\sigma +m$

$dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma },dx=\sqrt{2}\sigma dz$

${=}^{*}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(z^3\sqrt{2^3}{\sigma }^3+3z^{2}2{\sigma }^{2}m+3z\sqrt{2}\sigma m^2+m^3)e^{-z^2}dz=$

$=\frac{2\sqrt{2}{\sigma }^3}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^3{e}^{-z^2}dz{)}_{=0}+\frac{6{\sigma }^{2}m}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz{)}_{=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}+$

$+\frac{3\sqrt{2}\sigma m^2}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}z{e}^{-z^2}dz{)}_{=0}+\frac{m^3}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz{)}_{=\sqrt{\pi }}=$

$=\frac{6{\sigma }^{2}m}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}+m^3=3{\sigma }^{2}m+m^3$

$\mathrm{E}(X^4)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^4\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-m{)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(z\sqrt{2}\sigma +m{)}^4{e}^{-z^2}dz{=}^{*}$

$z=\frac{x-m}{\sqrt{2}\sigma },x=z\sqrt{2}\sigma +m$

$dz=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma },dx=\sqrt{2}\sigma dz$

${=}^{*}\frac{1}{\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(4{\sigma }^4{z}^4+32\sqrt{2}{\sigma }^{3}m{z}^3+12{\sigma }^2{m}^2{z}^2+4\sqrt{2}\sigma m^{3}z+m^4)e^{-z^2}dz=$

$=\frac{4{\sigma }^4}{\sqrt{\pi }}\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^4{e}^{-z^2}dz\right)+\frac{32\sqrt{2}{\sigma }^{3}m}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^3{e}^{-z^2}dz{)}_{=0}+$

$+\frac{12{\sigma }^2{m}^2}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz{)}_{=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}+\frac{4\sqrt{2}\sigma m^3}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}z{e}^{-z^2}dz{)}_{=0}+\frac{m^4}{\sqrt{\pi }}(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz{)}_{=\sqrt{\pi }}=$

$=\frac{4{\sigma }^4}{\sqrt{\pi }}\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^4{e}^{-z^2}dz\right)+0+\frac{12{\sigma }^2{m}^2}{\sqrt{\pi }}({\sigma }^2+m^2)+0+\frac{m^4}{\sqrt{\pi }}\sqrt{\pi }{=}^{**}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^4{e}^{-z^2}dz=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}z\cdot z^3{e}^{-z^2}dz{=}^{*}$

$u=z,u^{\prime }=1,v^{\prime }=z^3{e}^{-z^2},v=?$

$v=\int z^3{e}^{-z^2}dz=\frac{1}{2}\int t{e}^{-t}dt=\frac{1}{2}(-t{e}^{-t})+\int e^{-t}dt=\frac{1}{2}(-z^2{e}^{-z^2}-e^{-z^2})$

$t=z^{2}u=t,u^{\prime }=1,dz=\frac{1}{2z}dt,v^{\prime }=e^{-t},v=-e^{-t}$

${=}^{*}z\cdot \frac{1}{2}(-z^2{e}^{-z^2}-e^{-z^2}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{2}(-z^2{e}^{-z^2}-e^{-z^2})dz=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{z}^2{e}^{-z^2}dz+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-z^2}dz=$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi }=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$

${=}^{**}\frac{4{\sigma }^4}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{3\sqrt{\pi }}{4}+\frac{12{\sigma }^2{m}^2}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{m^4}{\sqrt{\pi }}\cdot \sqrt{\pi }=3{\sigma }^4+6{\sigma }^2{m}^2+m^4(=\mathrm{E}(X^4))$

Obliczone wartości:

$\mathrm{E}(X^2)={\sigma }^2+m^2$

$\mathrm{E}(X^3)=3{\sigma }^{2}m+m^3$

$\mathrm{E}(X^4)=3{\sigma }^4+6{\sigma }^2{m}^2+m^4$

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):

$\begin{array}{cc}{\mu }_4(X)& =\mathrm{E}(X^4)-4m\mathrm{E}(X^3)+6m^2\mathrm{E}(X^2)-3m^4\\ & =(3{\sigma }^4+6{\sigma }^2{m}^2+m^4)-4m(3{\sigma }^{2}m+m^3)+6m^2({\sigma }^2+m^2)-3m^4\\ & =3{\sigma }^4+6{\sigma }^2{m}^2+m^4-12{\sigma }^2{m}^2-4m^4+6{\sigma }^2{m}^2+6m^4-3m^4=3{\sigma }^4\end{array}$

Stąd kurtoza jest równa:

${\mathrm{Kurt}}_E=\frac{({\mu }_4(X))}{({\sigma }^2{)}^2}-3=\frac{3{\sigma }^4}{{\sigma }^4}-3=3-3=0.$

Zobacz też

• miara rozkładu
• statystyka opisowa