Funkcja tworząca momenty

Funkcja tworząca (generująca) momenty zmiennej losowej $X$ jest zdefiniowana wzorem

$M_X(t)=𝖤(e^{tX}).$

Używając teorii związanej z funkcją tworzącą momenty, wyprowadza się wiele oszacowań w rachunku prawdopodobieństwa. Klasyczną nierównością, w której występuje funkcja tworząca momenty, jest nierówność Chernoffa.

Funkcja $R_X(t)=\ln (M_X(t))$ nazywana jest funkcją generującą kumulanty. Kumulanty zmiennej losowej $X$ to wielkości ${\kappa }_n$ spełniające własność:

$R_X(t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\kappa }_n{t}^n}{n!}.$

Własności

Funkcji tworzącej momenty można użyć, by obliczyć dowolny moment zmiennej losowej. Gdy rozwiniemy funkcję tworzącą momenty w szereg Taylora, otrzymamy:

$M_X(t)=E(e^{tX})=1+tE[X]+\frac{t^{2}E[X^2]}{2!}+\frac{t^{3}E[X^3]}{3!}+\dots$

Jeśli zróżniczkujemy całe wyrażenie $i$-krotnie po $t,$ i podstawimy $t=0,$ otrzymamy $i$-ty moment zmiennej losowej $X.$

Przykład: Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość oczekiwaną (pierwszy moment) zmiennej losowej $X$ o rozkładzie Poissona z parametrem $\lambda .$ Funkcja generująca momenty dla rozkładu Poissona to

$M_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)}.$

Gdy policzymy pierwszą pochodną po $t$ otrzymamy

${M_X}^{\prime }(t)=(e^{\lambda (e^t-1)}{)}^{\prime }=\lambda e^{\lambda (e^t-1)+t}.$

Teraz, gdy podstawimy $t=0$ otrzymamy:

$\lambda e^{\lambda (e^t-1)+t}=\lambda e^{\lambda (e^0-1)+0}=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda .$

Inna własność jest następująca: jeśli

$Y=\sum _{k=0}^n{a}_k{X}_k,$

jest sumą $n$ niezależnych zmiennych losowych ($a$ to stałe), to funkcją generującą momenty dla $Y$ jest:

$M_Y=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\dots M_{X_n}(a_{n}t).$

Zobacz też

• funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera)
• funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a)
• funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata)
• kumulanta

Bibliografia

• Szablon:Cytuj stronę