Funkcja dodatnio określona

Funkcja dodatnio określona – jest to funkcja dwu zmiennych $K:X\times X\to ℂ,$ działająca w ciało liczb zespolonych $ℂ,$ spełniająca własność:

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }{x}_1,x_2,...,x_n\in X\mathrm{\forall }{a}_1,a_2,...,a_n\in ℂ$

$\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot K(x_i,x_j)\cdot {\bar{a}}_j>0,$

gdzie $\bar{a}$ jest sprzężeniem liczby $a.$

Związek z iloczynem skalarnym

Twierdzenie Kołmogorowa:

Niech $K:X\times X\to ℂ$ będzie funkcją dodatnio określoną. Wtedy istnieje jedyne przekształcenie $a:X\to H,$ takie że:

• $H$ jest przestrzenią Hilberta,
• $⟨a(x)|a(y)⟩=K(x,y),$ gdzie $⟨\cdot |\cdot ⟩$ jest iloczynem skalarnym w $H,$
• $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{a(x):x\in X\}$ jest gęsty w $H.$