Granice dolna i górna

Ilustracja granicy górnej oraz dolnej. Ciąg $(x_n)$ zaznaczono kolorem niebieskim. Dwie czerwone krzywe dążą do granicy górnej i dolnej ciągu $(x_n)$ oznaczonych linią czarną kropkowaną.

Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.

Każdy ciąg ma granice dolną i górną. Jeżeli dany ciąg ma granicę, to granice dolna oraz górna są równe. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeśli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one równe, to posiada także granicę równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej (na podstawie twierdzenia o trzech ciągach).

Definicja

Granica dolna i granica górna ciągu $(a_n)$ definiowane są odpowiednio wzorami

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k⩾n}{\inf }{a}_k\right)=\underset{n⩾0}{\sup }\underset{k⩾n}{\inf }{a}_k,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k⩾n}{\sup }{a}_k\right)=\underset{n⩾0}{\inf }\underset{k⩾n}{\sup }{a}_k.$

W pierwszej definicji druga z równości wynika z faktu, że ciąg $\{\underset{k⩾n}{\inf }{a}_k{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest niemalejący, więc jego granicą jest jego supremum. Analogicznie, druga z równości w drugiej definicji wynika z faktu, że ciąg $\{\underset{k⩾n}{\sup }{a}_k{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ jest nierosnący, więc jego granicą jest jego infimum.

Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń $\lim$ oraz $\inf ,$ czy $\sup ,$ co widać w powyższych napisach, gdzie $n\to \mathrm{\infty }$ rozpościera się równo pod całym napisem $\mathrm{lim\; inf}$ lub $\mathrm{lim\; sup},$ a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli $\underset{\_}{\lim }$ na oznaczenie granicy dolnej oraz $\bar{\lim }$ na oznaczenie granicy górnej.

Przykłady

Najprostszym przykładem jest

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\pm n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\pm n=\pm \mathrm{\infty }.$

Istnieją ciągi, których granica dolna jest różna od granicy górnej, są one rozbieżne:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(-1{)}^n(1-\frac{1}{n})=1,$

ale

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(-1{)}^n(1-\frac{1}{n})=-1.$

Podobnie

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sin \frac{\pi n}{100}=1,$

ale

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sin \frac{\pi n}{100}=-1.$

Własności

Dla dowolnych ciągów $(a_n),(b_n)$ prawdziwe są następujące nierówności:

$\begin{array}{cc}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{b}_n\\ ⩾& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(a_n+b_n)\\ ⩾& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{b}_n\\ ⩾& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(a_n+b_n)\\ ⩾& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{b}_n.\end{array}$

Zobacz też

• granica Banacha
• granica ciągu
• granica funkcji

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-12-03].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-12-03].
• Szablon:Otwarty dostęp Upper and lower limits Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-12-03].