Miara wektorowa

Szablon:Spis treści Miara wektorowa – w teorii miary, addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą, lecz stanowi uogólnienie koncepcji miary na wartości wektorowe.

Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja

Jeśli $ℱ$ jest ciałem zbiorów oraz $E$ przestrzenią unormowaną, to funkcję $\nu :ℱ\to E,$ spełniającą warunek

$\nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)$

dla wszelkich rozłącznych zbiorów $A,B\in ℱ,$ nazywamy miarą wektorową.

Jeśli $𝔐$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ to funkcję $\nu :𝔐\to E$ nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $𝔐$ spełniony jest warunek:

$\nu (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)$

Wahanie i półwahanie

Jeżeli $\nu :ℱ\to E$ jest miarą wektorową, to funkcję $|\nu |:ℱ\to [0,\mathrm{\infty }]$ określoną wzorem

$|\nu |(A)=\sup \{\sum _{P\in \mathrm{\Pi }}\Vert \nu (P)\Vert :\mathrm{\Pi }\},$ gdzie $\mathrm{\Pi }\subset ℱ$ jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że $\bigcup \mathrm{\Pi }=A$ nazywamy wahaniem miary wektorowej $\nu .$

Funkcję $\Vert \nu \Vert :ℱ\to [0,\mathrm{\infty }],$ określoną wzorem

$\Vert \nu \Vert (A)=\sup \{|x^{\star }\circ \nu |(A):x^{\star }\in E^{\star },\Vert x^{\star }\Vert ⩽1\}$

nazywamy półwahaniem miary wektorowej $\nu .$

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności

• Jeżeli $𝔐$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M,$ a $\nu :𝔐\to ℝ$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to

$|\nu |=\Vert \nu \Vert ={\nu }^{+}+{\nu }^{-},$ gdzie ${\nu }^{+},{\nu }^{-},$ to odpowiednio wahanie górne i dolne.

• Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
• Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
• Jeżeli $\nu$ jest miarą wektorową, to $\Vert \nu \Vert ⩽|\nu |.$
• Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
• Niech $𝔐=\sigma (ℱ)$ (σ-ciało generowane przez ciało $ℱ;$ porównaj: definicję). Jeśli $\nu :𝔐\to E$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego $A\in ℱ$ zachodzi równość: $|\nu {|}_{ℱ}|(A)=|\nu |(A).$
• Jeżeli wahanie miary wektorowej $\nu$ jest miarą skończoną, to $\nu$ jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
• Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
• Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech $T:L_{\mathrm{\infty }}[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru $A\subset [0,1]$ określmy odwzorowanie

$\nu (A)=T({\chi }_A),$ gdzie ${\chi }_A$ jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech $T:L_1[0,1]\to X$ będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja $\nu$ dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego $A\subset [0,1]$

$\Vert \nu (A)\Vert ⩽l(A)\Vert T\Vert ,$ gdzie $l$ jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także $\Vert \nu \Vert (A)⩽l(A)\Vert T\Vert ,$ co dowodzi, że $\nu$ jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech $ℒ{|}_{[0,1]}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $[0,1]$ mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja $\nu :ℒ{|}_{[0,1]}\to L_{\mathrm{\infty }}[0,1]$ dana wzorem

$\nu (A)={\chi }_A,$ dla $A\in ℒ{|}_{[0,1]}$ jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech $ℱ=\{A\subseteq \mathbb{N}:|A|<{\mathrm{\aleph }}_0\vee |\mathbb{N}\setminus A|<{\mathrm{\aleph }}_0\}.$ Funkcja $\nu :ℱ\to ℝ$ dana wzorem

$\nu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|,& |A|<{\mathrm{\aleph }}_0\\ -|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<{\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$ jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w.

Zobacz też

• wektor