Klasa monotoniczna

Klasa monotoniczna – rodzina zbiorów zamkniętych ze względu na granice ciągów monotonicznych badana przede wszystkim w teorii mnogości i teorii miary.

Definicja

Szablon:Zobacz też Niepustą rodzinę zbiorów $𝔐$ nazywa się klasą monotoniczną, jeśli wraz z każdym ciągiem monotonicznym $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiorów rodziny $𝔐$ należy do niej również granica $\lim A_n$ tego ciągu; w szczególności:

• jeśli ciąg $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest nierosnący, tzn. $A_n\supseteq A_{n+1},$ to

  $\lim A_n=\bigcap _n{A}_n\in 𝔐$

oraz

• jeśli ciąg $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest niemalejący, tzn. $A_n\subseteq A_{n+1}$ to

  $\lim A_n=\bigcup _n{A}_n\in 𝔐.$

Najmniejszą klasę monotoniczną zawierającą rodzinę zbiorów $𝔄$ oznacza się $\mathrm{M}(𝔄)$ nazywa się klasą monotoniczną generowaną przez tę rodzinę,

$\mathrm{M}(𝔄)=\bigcap \{𝔐\subseteq 𝒫(X):𝔄\subset 𝔐,$ $𝔐$ jest klasą monotoniczną podzbiorów zbioru $X\},$

gdzie $𝒫(X)$ oznacza zbiór potęgowy $X.$

Właściwości

• Każde σ-ciało zbiorów jest klasą monotoniczną.
• Jeśli ciało zbiorów jest klasą monotoniczną, to jest także σ-ciałem.
• Jeśli $𝔄$ jest ciałem zbiorów, to $\sigma (𝔄)=\mathrm{M}(𝔄),$ gdzie $\sigma (𝔄)$ i $\mathrm{M}(𝔄)$ oznaczają odpowiednio σ-ciało zbiorów i klasę monotoniczną generowane przez rodzinę $𝔄.$