Ciąg zbiorów

Szablon:Spis treści Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.

Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).

Zbieżność

Szablon:Zobacz też Niech dany będzie ciąg podzbiorów $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ustalonego zbioru $X$ nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\bigcup _{m\in \mathbb{N}}\bigcap _{n>m}{A}_n\text{ oraz }\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n=\bigcap _{m\in \mathbb{N}}\bigcup _{n>m}{A}_n$

nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu $(A_n{)}_n;$ jeżeli

$\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n,$

to ciąg $(A_n{)}_n$ nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje $\underset{n\in \mathbb{N}}{\lim }{A}_n.$

Własności

Zamiast napisu $n\in \mathbb{N}$ (liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również $n\to \mathrm{\infty };$ niżej, dla przejrzystości, oznaczenia $n\in \mathbb{N}$ będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.

Dla dowolnego ciągu $(A_n)$ następujące warunki są równoważne:

• ciąg $A_n$ jest zbieżny do $A,$

  $\lim A_n=A;$

• ciąg różnic symetrycznych $A_n$ oraz $A$ jest zbieżny do zbioru pustego $\varnothing ,$

  $\lim \left(A_n\mathrm{△}A\right)=\varnothing ;$

• ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów $A_n$ jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni $X$ do funkcji charakterystycznej zbioru $A,$

  $\lim {\chi }_{A_n}(x)={\chi }_A(x)\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{a}\dot{\mathrm{z}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{o}x\in X.$

Dodatkowo dla $I$ przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi

$\mathrm{lim\; sup}{A}_n=\bigcap _I\bigcup _{i\in I}{A}_i,$

z kolei dla $I$ przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest

$\mathrm{lim\; inf}{A}_n=\bigcup _I\bigcap _{i\in I}{A}_i,$

a ponadto

$\mathrm{lim\; inf}{A}_n\subseteq \mathrm{lim\; sup}{A}_n,$

a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania $\mathrm{lim\; inf}{A}_n.$

Element $x\in \mathrm{lim\; sup}{A}_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_n$ dla nieskończenie wielu wartości $n$; z kolei $x\in \mathrm{lim\; inf}{A}_n$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x\in A_n$ dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami $n$; innymi słowy

$\mathrm{lim\; inf}{A}_n=\{\sum {\chi }_{A_n^{\mathrm{c}}}<\mathrm{\infty }\}\text{ oraz }\mathrm{lim\; sup}{A}_n=\{\sum {\chi }_{A_n}=\mathrm{\infty }\},$

a ponadto $(\mathrm{lim\; inf}{A}_n{)}^{\mathrm{c}}=\mathrm{lim\; sup}{A}_n^{\mathrm{c}}$ oraz $(\mathrm{lim\; sup}{A}_n{)}^{\mathrm{c}}=\mathrm{lim\; inf}{A}_n^{\mathrm{c}}$, gdzie $A^{\mathrm{c}}$ oznacza dopełnienie zbioru $A.$

Szablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:AnchorSzablon:Anchor Ciąg $(A_n)$ nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli $A_{n+1}\subseteq A_n$ oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli $A_n\subseteq A_{n+1}$ dla każdego $n\in \mathbb{N}.$ O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli $(A_n)$ jest nierosnący (zstępujący), to

$\lim A_n=\bigcap A_n,$

a jeżeli $(A_n)$ jest niemalejący (wstępujący), to

$\lim A_n=\bigcup A_n.$

Zastosowania

Niżej $X$ oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory $A_n$ będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).

Granice $\mathrm{lim\; sup}{A}_n$ oraz $\mathrm{lim\; inf}{A}_n$ można uważać za „te zdarzenia $A_n,$ które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia $A_n,$ które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie $\mathrm{lim\; inf}{A}_n\subseteq \mathrm{lim\; sup}{A}_n$ oznacza więc, że „zdarzenia $A_n,$ które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę $\lim A_n$ można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń $A_n,$ które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.

Twierdzenie o ciągłości

Jeżeli ciąg $A_n$ jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z $A_n,$ które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw $A_n$, tzn.

$\mathbb{P}(\lim A_n)=\lim \mathbb{P}(A_n).$

Lematy Borela-Cantellego

Jeżeli $\sum \mathbb{P}(A_n)<\mathrm{\infty },$ to $\mathbb{P}(\mathrm{lim\; sup}{A}_n)=0.$ Z drugiej strony, jeżeli $\sum \mathbb{P}(A_n)=\mathrm{\infty }$ dla zdarzeń niezależnych(!), to $\mathbb{P}(\mathrm{lim\; sup}{A}_n)=1.$

Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń $A_n$ jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń $A_n$” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń $A_n$ jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.

Klasa monotoniczna i λ-układ

Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń $A_n,$ która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń $A_n,$ do której należy $X,$ jeżeli zdarzenie $A$ pociąga $B,$ to rodzina zawiera różnicę zdarzeń $A$ oraz $B$ (zdarzenie przeciwne do $B$ względem $A$) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.

Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa

Niech $P$ będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele $𝔐$ określonym na przestrzeni $X$ (oraz $P(X)=1$). Jeśli zachodzi warunek

gdy $A_n$ jest ciągiem wstępującym elementów $𝔐,$ przy czym $\lim A_n=A\in 𝔐$ (np. gdy $𝔐$ jest również klasą monotoniczną), wtedy $\lim P(A_n)=P(\lim A_n)=P(A),$

to $P$ przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa $\mathbb{P}$ na σ-ciele generowanym przez $𝔐.$

Równoważnie można żądać, by $A_n$ był ciągiem zstępującym na $𝔐$ oraz $\lim A_n=\varnothing \in 𝔐,$ kiedy to $\lim P(A_n)=P(\lim A_n)=P(\varnothing )=0$ z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi $P.$

W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).

Uwagi

Szablon:Uwagi