Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Z testwiki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Szablon:Inne znaczenia Zdarzenie losowe – mierzalny podzbiór A zbioru zdarzeń elementarnych Ω danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy – zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na Ω.

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy Ω={1,2,3,4,5,6}, gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na Ω są np.: A={6} – zdarzenie, że wypadło sześć oczek, B={1,2} – zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, C={1,3,5} – zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa P(A)=16,P(B)=26,P(C)=36, proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że A,B,C⊂Ω.

Definicja ogólna

Niech (Ω,ℱ,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory A,B,…,X,Y,… należące do σ-ciała ℱ utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Samo σ-ciało ℱ nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym, jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęcia

1) Zdarzenie elementarne – pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na pierwszej kostce, a druga – liczbę oczek uzyskaną na drugiej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω – zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy Ω={1,2,3,4,5,6}, gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu – zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia A={1,3,5} zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne {1}, {3}, {5}.

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia – zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru Ω.

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek B={1,3,5} jest zdarzenie C, że wypadła parzysta liczba oczek, tj. C=Ω∖B={2,4,6}

Dowolność wyboru σ-ciała

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać Ω={1,2,3,4,5,6}. Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

  • ℱ1={∅,Ω} – σ-ciało nazywamy zdegenerowanym,, gdyż zawiera tylko zdarzenie niemożliwe ∅ oraz zdarzenie pewne Ω.
  • ℱ2={∅,Ω,{1},{2,3,4,5,6}} – σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia {1} oraz {2,3,4,5,6}.
  • ℱ3=2Ω – σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów Ω, tzn. dowolny podzbiór zbioru Ω należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz też

Typy zdarzeń losowych:

Paradoksy teorii prawdopodobieństwa:

Bibliografia

Źródło: „https://pl.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Zdarzenie_losowe_(teoria_prawdopodobieństwa)&oldid=4846”