Zbiór Bernsteina

Zbiór Bernsteina – podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue’a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908.

Definicja formalna

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Podzbiór $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina w $X$, jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X$ spełnione są warunki

• $B\cap Z\ne \varnothing ,$
• $B\setminus Z\ne \varnothing .$

Własności

Niech $X$ będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech $Z\subseteq X.$ Wówczas następujące warunki są równoważne:

• $Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• ani $Z,$ ani $X\setminus Z$ nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru $X,$
• zarówno $Z,$ jak i $X\setminus Z$ ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem $X.$

Jeśli $Z\subseteq X$ jest zbiorem Bernsteina, to:

• $X\setminus Z$ jest zbiorem Bernsteina,
• $Z$ nie ma własności Baire’a,
• $Z$ jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na $X,$
• $Z$ jest pełnej miary zewnętrznej Lebesgue’a, a wewnętrzną miarę Lebesgue’a ma zerową.

Istnieją takie dwie podgrupy $G_1,G_2$ grupy $(ℝ,+)$ dla których

$G_1\cap G_2=\{0\}$

i które są zbiorami Bernsteina.

Konstrukcja

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia aksjomatu wyboru. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina.

Poniższe rozumowanie oparte jest na twierdzeniu Zermela, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermela jest równoważne aksjomatowi wyboru).

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską – wówczas X jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów $X$ jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wszystkie nieprzeliczalne podzbiory borelowskie przestrzeni X ustawić w ciąg pozaskończony

$\{B_{\alpha }:\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}.$

(Powyżej liczba kardynalna $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ traktowana jest jako liczba porządkowa). Następnie, przez indukcję ze względu na $\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ można wybrać takie punkty $x_{\alpha },y_{\alpha }\in X,$ że:

$x_{\alpha }\ne y_{\alpha },$

$x_{\alpha },y_{\alpha }\in B_{\alpha }\setminus \{x_{\beta },y_{\beta }:\beta <\alpha \}.$

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku $\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ wiadomo, że zbiór $B_{\alpha }$ jest nieprzeliczalny, a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór $\{x_{\beta },y_{\beta }:\beta <\alpha \}$ jest mocy mniejszej niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory

$\{x_{\alpha }:\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$ i $\{y_{\alpha }:\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

Wzmocnienie

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie $(X_{\alpha }{)}_{\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$ na continuum wiele zbiorów Bernsteina.

Dowód. Istnieje taka funkcja

$f:ℝ\to ℝ$

że

$f(P)=ℝ$

dla każdego zbioru doskonałego $P\subset ℝ$ (w literaturze funkcje takie noszą nazwę perfectly everywhere surjective functions). Istotnie, niech

$\{(P_{\alpha },x_{\alpha }):\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$

będzie ustawieniem w ciąg pozaskończony wszystkich par $(P,x),$ gdzie $P$ jest zbiorem doskonałym a $x$ punktem prostej. Funkcję $f$ można zdefiniować rekursywnie:

• W kroku zerowym, ze zbioru $P_0$ można wybrać dowolny punkt $y_0$ i zdefiniować $f(y_0)=x_0.$
• W kroku $\alpha$ ze zbioru

$P_{\alpha }\setminus \{y_{\xi }:\xi <\alpha \}$

wybiera się punkt $y_{\alpha }$ i definiuje $f(y_{\alpha })=x_{\alpha }.$

• Dla punktów $y\in ℝ\setminus \{y_{\alpha }<2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$ definiuje się $f(y)=0.$

Dla każdego zbioru doskonałego $P$ i punktu $x\in ℝ$ istnieje taka liczba $\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0},$ że $(P,x)=(P_{\alpha },x_{\alpha }).$ Zatem na mocy konstrukcji $f(P)=ℝ.$ Rozważmy teraz rodzinę zbiorów

$\{f^{-1}(x):x\in ℝ\}.$

Składa się ona ze zbiorów parami rozłącznych i takich, że mają one punkty wspólne z każdym zbiorem doskonałym. Zatem jest to rodzina składająca się z $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ wielu zbiorów Bernsteina.

Liczba zbiorów Bernsteina na prostej

Istnieje $2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$ parami różnych zbiorów Bernsteina na prostej. Istotnie, niech

$\{X_{\alpha }:\alpha <2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$

będzie rodziną parami rozłącznych zbiorów Bernsteina na prostej (liczba kardynalna $𝔠$ jest, w szczególności, liczbą porządkową). Niech $S\subset 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ będzie takim niepustym zbiorem, że $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\setminus S$ jest niepusty. Niech ponadto

$X_S=\bigcup _{\alpha \in S}{X}_{\alpha }.$

Wówczas $X_S$ jest zbiorem Bernsteina. Istotnie, niech $\alpha \in S,$ $\beta \in 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\setminus S$ i niech $P$ będzie zbiorem doskonałym. Wówczas

$X_{\alpha }\cap P\ne \varnothing \ne X_{\beta }\cap P.$

Stąd

$X_S\cap P\ne \varnothing \ne P\setminus X_S,$

co dowodzi, że $X_S$ jest zbiorem Bernsteina, oraz każdy zbiór $X_S$ jest jednoznacznie wyznaczony przez niepusty podzbiór $S\subset 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ o niepustym dopełnieniu. Takich zbiorów jest jednak $2^{2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}.$

Zobacz też

• miara Lebesgue’a
• własność Baire’a
• zbiór Vitalego

Bibliografia

• A.B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam 2004, s. 17–26