Twierdzenie Zermela

Twierdzenie Zermela a. twierdzenie o dobrym uporządkowaniu – twierdzenie teorii mnogości zapewniające (na gruncie teorii ZFC), że na każdym zbiorze można wprowadzić relację dobrego porządku. Opublikowane w 1904 roku przez Ernsta Zermela.

Wnioski

Dla dowolnych dwóch zbiorów $X$ i $Y$ zachodzi

$\bar{X}⩾\bar{Y}$ lub $\bar{Y}⩾\bar{X},$

gdzie przez $\bar{X}$ oznacza moc zbioru $X.$ Oznacza to, że

Moce dowolnych zbiorów są porównywalne

Jest tak, gdyż z twierdzenia Zermela każdy z danych dwóch zbiorów można dobrze uporządkować, a zatem zgodnie z twierdzeniem o zbiorach dobrze uporządkowanych jeden z nich jest odcinkiem początkowym drugiego, a co za tym idzie ma moc mniejszą lub równą od niego.

Związek z aksjomatem wyboru

Na gruncie teorii ZF zachodzi równoważność pomiędzy aksjomatem wyboru a twierdzeniem Zermela, tj. zakładając na gruncie ZF jedno z nich można udowodnić drugie.

Twierdzenie Zermela pociąga aksjomat wyboru

Istotnie, niech $ℱ$ będzie dowolną rodziną niepustych zbiorów. Z twierdzenia Zermela wynika, że istnieje dobry porządek $⩽$ na zbiorze $F=\bigcup ℱ.$ W szczególności każdy niepusty podzbiór zbioru $F$ ma element najmniejszy względem porządku $⩽.$ Jednakże dla każdego $A\in ℱ$ zachodzi inkluzja $A\subseteq F.$ Wynika stąd, że przyporządkowanie

$A\mapsto \min {}_{⩽}A(A\in ℱ)$

jest funkcją wyboru na $ℱ,$ gdzie $\min {}_{⩽}A$ oznacza element najmniejszy w $A$ względem relacji $⩽.$

Bibliografia

• Thomas Jech, The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.