Zdarzenia losowe rozłączne

Szablon:Spis treści Zdarzenia losowe rozłączne (albo wykluczające się) to para zdarzeń losowych $A,B,$ których część wspólna jest zdarzeniem niemożliwym:

$A\cap B=\mathrm{\varnothing }.$

Przykład

Jeżeli przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich wyników rzutu kostką $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ to zdarzenia:

A – wypadła parzysta liczba oczek,

B – wypadła nieparzysta liczba oczek

są rozłączne.

Uogólnienie

W przypadku większej liczby zdarzeń mówimy o zdarzeniach „parami rozłącznych” lub „parami wykluczających się”.

Niech $(A_i)$ będzie rodziną zdarzeń w pewnej przestrzeni $\mathrm{\Omega }.$ Zdarzenia tej rodziny są parami rozłączne jeżeli dowolne dwa różne zdarzenia $A_i$ i $A_j$ są rozłączne:

$i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }.$

Jeśli rodzina $(A_i)$ spełnia dodatkowo warunek:

$\bigcup A_i=\mathrm{\Omega }$

nazywa się ją podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych. Przykładowym podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych jest rodzina $\{A,A^{\prime }\}$ dla dowolnego zdarzenia losowego $A.$

Własności

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Dla dwóch zdarzeń rozłącznych zachodzi wzór:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Jeżeli rodzina zdarzeń $(A_i)$ jest przeliczalna oraz zdarzenia z tej rodziny są parami rozłączne, to prawdziwy jest wzór:

$P(\bigcup A_i)=\sum P(A_i).$

Zobacz też

• zdarzenia losowe niezależne

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę