Zdarzenia losowe niezależne

Zdarzenia losowe niezależne – zdarzenia $A,B\in 𝒜$ na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ spełniające warunek

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Taka postać warunku na niezależność zdarzeń $A$ i $B$ wynika z intuicyjnego stwierdzenia: zdarzenie $A$ nie zależy od zdarzenia $B,$ jeśli wiedza na temat zajścia $B$ nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia $A.$

Wychodząc z tych intuicji można korzystając z pojęcia prawdopodobieństwa warunkowego podać równoważną definicję niezależności zdarzeń $A,B:$

$P(A|B)=P(A)$

$P(B|A)=P(B)$

przy założeniu $P(A)\ne 0,P(B)\ne 0.$

Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli $A_1,\dots ,A_m\in 𝒜,$ to mówimy, że są one niezależne, gdy spełniony jest warunek

$P(A_{i_1}\cap \dots \cap A_{i_k})=P(A_{i_1})\cdot \dots \cdot P(A_{i_k})$ dla każdego układu indeksów $i_1,\dots ,i_k$ oraz dla każdego $k=1,2,\dots ,m.$

Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia $A_1,A_2,\dots$ są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia $A_{i_1},\dots ,A_{i_n}$ są niezależne.

Z drugiej strony definiuje się też zdarzenia losowe niezależne parami, co w przypadku (skończonego lub nieskończonego) ciągu zdarzeń $(A_i)$ ma miejsce wtedy, gdy dowolna para zdarzeń z tego ciągu jest niezależna. Warunek ten jest słabszy od warunku „pełnej” niezależności zdarzeń.

Własności

• Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe. Mylenie zdarzeń niezależnych z rozłącznymi jest często występującym i bardzo poważnym błędem.
• Gdy zdarzenia $A_1,\dots ,A_n$ są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne ${A_1}^{\prime },\dots ,{A_n}^{\prime }$ też są niezależne oraz:

$P\left(\bigcup _{k=1}^n{A}_k\right)=P\left(\left(\bigcap _{k=1}^n{A_k}^{\prime }\right)\right)=1-P\left(\bigcap _{k=1}^n{A_k}^{\prime }\right)=1-\prod _{k=1}^{n}P({A_k}^{\prime })=1-\prod _{k=1}^n(1-P(A_k)).$

Porównaj: prawa De Morgana.

Niezależność σ-ciał

σ-ciała ${ℱ}_1,\dots ,{ℱ}_n,$ gdzie ${ℱ}_i\subseteq 𝒜$ dla $i\in \{1,\dots ,n\}$ nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych $A_1\in {ℱ}_1,\dots ,A_n\in {ℱ}_n$

$P(A_1\cap \dots \cap A_n)=P(A_1)\cdot \dots \cdot P(A_n).$

Jeżeli $A_1\in {ℱ}_1,\dots ,A_n\in {ℱ}_n,$ to przez $\sigma (A_i)$ rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie $A_i,$ tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór $A_i.$ Dokładniej, dla $i\in \{1,\dots ,n\}$

$\sigma (A_i)=\{\varnothing ,\mathrm{\Omega },A_i,\mathrm{\Omega }\setminus A_i\}.$

Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia $A_1,\dots ,A_n$ są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała $\sigma (A_1),\dots ,\sigma (A_n)$ są niezależne.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• zależność zmiennych losowych

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Przystępne wyjaśnienie niezależności zdarzeń na przykładzie