Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $B$ (o dodatnim prawdopodobieństwie) – liczba

$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)},$

tj. iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń $A$ i $B$ oraz prawdopodobieństwa zdarzenia $B$Szablon:Odn.

Niech $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Przy ustalonym zdarzeniu $B\in ℱ$ o dodatnim prawdopodobieństwie, prawdopodobieństwo warunkowe $\mathbb{P}(A\mid B)$ jest zwykłym prawdopodobieństwem na

${ℱ}_B=\{A\cap B:B\in ℱ\},$

stąd bywa oznaczane czasem symbolem ${\mathbb{P}}_B(A)$Szablon:Odn.

Przykłady

Przykład 1

Mamy dwie urny – w pierwszej są same białe kule, w drugiej same czarne. Najpierw wybieramy losowo urnę, a później losujemy kolejno dwie kule.

Niech:

$A$ oznacza zdarzenie, że pierwsza kula jest biała,

$B$ oznacza zdarzenie, że druga kula jest biała.

Wybór urny determinuje wybór koloru kul. Zatem jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie $A,$ to druga wylosowana kula także będzie biała. W takim razie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $B$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $A,$ oznaczane przez $\mathbb{P}(B\mid A),$ jest równe 1.

Przykład 2

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek?

Niech $A$ oznacza zdarzenie, że nie wypadła szóstka, natomiast $B$ zdarzenie, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Obliczamy:

$\mathbb{P}(A\cap B)=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{\overline{\overline{\mathrm{\Omega }}}},$

$\mathbb{P}(B)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{\overline{\overline{\mathrm{\Omega }}}}$

Z definicji:

$\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{1}{2}$

Zdarzenia niezależne

Jeżeli zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, tj. $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B),$ to $\mathbb{P}(A\mid B)=\mathbb{P}(A).$

Zobacz też

• teoria prawdopodobieństwa
• twierdzenie Bayesa
• warunkowa wartość oczekiwana

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę